〚代数精编2.1-9〛

题目

设 $k⩾9$，解关于 $x$ 的方程 $x^3+2k{x}^2+k^{2}x+9k+27=0$．

导引

解答

（书后参考答案） 因为 $x^3+2k{x}^2+k^{2}x+9k+27=x{k}^2+(2x^2+9)k+x^3+27$，将其看成关于 $k$ 的二次方程，则 $\Delta =(2x^2+9{)}^2-4x(x^3+27)=9(2x-3{)}^2.$ 由求根公式解得 $k=-x-3\text{或}k=\frac{-x^2+3x-9}{x}.$

• $k=-x-3$ 即 $x=-k-3$；
• $x^2+(k-3)x+9=0$，其 $\Delta =(k-3{)}^2-4\times 9=(k-9)(k+3)$。因为 $k⩾9$，所以 $\Delta ⩾0$，其两根为 $x_2=\frac{3-k+\sqrt{k^2-6k-27}}{2},x_3=\frac{3-k-\sqrt{k^2-6k-27}}{2}.$

综上，原方程的解为 $x_1=-k-3,x_2=\frac{3-k+\sqrt{k^2-6k-27}}{2},x_3=\frac{3-k-\sqrt{k^2-6k-27}}{2}.$

解析

附注

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