题目

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以 $30$ 天计），第 $t$ 天（ $1 ⩽ t ⩽ 30, t \in N$ ）的旅游人数 $f (t)$ （万人）近似地满足 $f (t) = 4 + \frac{1}{t}$ ，而人均消费 $g (t)$ （元）近似地满足 $g (t) = 120 - ∣ t - 20∣$ ．

（1）求该城市旅游日收益 $W (t)$ （万元）与时间 $t$ （ $1 ⩽ t ⩽ 30, t \in N$ ）的关系式．

（2）求该城市旅游日收益的最小值．