题目

已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{8}{3 x ^{2} + 2 x y} + \frac{3}{x y + 2 y ^{2}} = 1$ ，求 $x y$ 的最小值

导引

$\frac{8}{3 x ^{2} + 2 x y} + \frac{3}{x y + 2 y ^{2}} = 1$ $求 x y 的最小值$

解答

写在前面

一道较复杂的高中最值问题，网上看来的
全文较长
首先给了5个不同解法
后面做了进一步解读
虽然只是一道题，但涉及不少有价值的知识
不高兴刷网了，看见一道题就搭进去好些时间

方法1，判别式法

信息简化（原等式去分母，移项、整理） $x^{2} (3 x y - 9) + x y (8 x y - 14) + y^{2} (4 x y - 16) = 0$
判别式非负 $Δ = (8 x y - 14)^{2} - 4 (3 x y - 9) (4 x y - 16) \geq 0$
解关于xy的二次不等式 $x y \geq \frac{5}{2} （得解）， x y \leq - \frac{19}{2} （舍）$
等号成立验证联立：① $x y = \frac{5}{2}$ ；② $x^{2} (3 x y - 9) + x y (8 x y - 14) + y^{2} (4 x y - 16) = 0$ 解的： $x = 5 y = \frac{5}{2}$

方法2，判别式法变式，k值法

记： $k = x y$
信息转化，转化为关于y、k的关系等式 $y^{2} (16 - 4 k) + (14 k - 8 k^{2}) + \frac{1}{y ^{2}} (9 k^{2} - 3 k^{3}) = 0$
判别式非负 $Δ = (14 k - 8 k^{2})^{2} - 4 (16 - 4 k) (9 k^{2} - 3 k^{3}) \geq 0$
解得 $x y \geq \frac{5}{2}$ ，与方法1一致

注：两个方法，都使用Δ非负。方法1，原始的代数分析构建原始方程，更锻炼能力；方法2，更程序化的方法构建二次方程，更实用好用。

方法3，一般不等式分析

链接转化（原信息齐次化，构建xy） $\frac{8 x y}{3 x ^{2} + 2 x y} + \frac{3 x y}{x y + 2 y ^{2}} = x y$
整理 $x y = \frac{8}{3 \frac{x}{y} + 2} + \frac{3}{1 + 2 \frac{y}{x}} = \frac{8}{3 m + 2} + \frac{3}{1 + \frac{2}{m}} = \frac{8}{3 m + 2} + \frac{3 m}{m + 2} = \frac{8}{3 m + 2} + 3 - \frac{6}{m + 2}$
一般不等式分析 $\frac{8}{3 m + 2} - \frac{6}{m + 2} = (\frac{8}{3 m + 2} - \frac{6}{m + 2}) (3 m + 2 - 3 (m + 2)) \cdot (- \frac{1}{4})$ $= (\frac{8}{A} - \frac{6}{B}) (A - 3 B) \cdot (- \frac{1}{4})$ $= \frac{3}{2} \cdot \frac{A}{B} + 6 \frac{B}{A} - \frac{13}{2} \geq 2 \frac{3}{2} \cdot \frac{A}{B} \cdot 6 \frac{B}{A} - \frac{13}{2} = - \frac{1}{2}$
得解 $x y \geq 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

注：以上均值不等式，可以归结为变化的柯西不等式即， $(A - B) (M - N) \leq (A M - B N)^{2} A 、 B 、 M 、 N \geq 0$ 注：这里是“ $\leq$ ”，不是“ $\geq$ ” 注：除非参加竞赛，否则直接把均值用灵活更好。用原生思考把经典知识用好，换取少学一点拓展知识。

方法4，纯多项式分析

同方法3： $x y = \frac{8}{3 m + 2} + \frac{3 m}{m + 2}$ （这里 $m = \frac{x}{y}$ )
通分： $x y = \frac{9 m ^{2} + 14 m + 16}{3 m ^{2} + 8 m + 4} = 3 + \frac{- 10 m + 4}{3 m ^{2} + 8 m + 4}$
记： $- 10 m + 4 = n$ $x y = 3 + \frac{n}{3 ( \frac{4 - n}{1} 0 ) ^{2} + 8 \cdot \frac{4 - n}{1} 0 + 4} = 3 + \frac{100 n}{3 n ^{2} - 104 n + 768} = 3 + \frac{100}{3 n + 768 \cdot \frac{1}{n} - 104}$ $\geq 3 + \frac{100}{- 2 3 \times 768 - 104} = 3 + \frac{100}{- 96 - 104} = \frac{5}{2}$

注： $- 2 3 \times 768$ 这一步，有些难以思考

注：这是一个 👉※ 蹩脚的方法蹩脚的方法，没有实用价值，但有学习意义；在这里可以锻炼到“计算能力”“分析能力”以及解难题的心理建设以及，涉及高中的“值域”分析这么蹩脚的路都能走下来，面对常规问题，一马平川。

方法5，多项式分析+判别式

同上 $x y = \frac{9 m ^{2} + 14 m + 16}{3 m ^{2} + 8 m + 4}$
记 $x y = k$ ，有 $k (3 m^{2} + 8 m + 4) = 9 m^{2} + 14 m + 16$
整理： $m^{2} (3 k - 9) + m (8 k - 14) + (4 k - 16) = 0$
判别式非负： $Δ = (8 k - 14)^{2} - 4 (3 k - 9) (4 k - 16) \geq 0$
解得 $x y \geq \frac{5}{2}$ ，与前面方法一致

注：第一步之后，是一个“较通用”的值域计算方法

方法模仿终归浅

==希望大家更去关注背后的思考和细节，以便自己在更多问题上能独立思考，至少模仿应用的灵活。==

方法1，背后的思考与细节

附：方法1，判别式法，草稿

计算中的细节 👉中间结果不计算

最后求解x、y时， ① $x y = \frac{5}{2}$ ；② $x^{2} (3 x y - 9) + x y (8 x y - 14) + y^{2} (4 x y - 16) = 0$ 将 $x y = \frac{5}{2}$ 代入第②个方程，注意混合项不要代好的： $x^{2} (3 \cdot \frac{5}{2} - 9) + x y (8 \cdot \frac{5}{2} - 14) + y^{2} (4 \cdot \frac{5}{2} - 16) = 0$ 不好： $x^{2} (3 \cdot \frac{5}{2} - 9) + \frac{5}{2} (8 \cdot \frac{5}{2} - 14) + y^{2} (4 \cdot \frac{5}{2} - 16) = 0$

学会节制，不要看到算式就计算

👉※ 判断思路可行性

针对“信息”做简化处理，这一步是自然
整理为常规多项式等式后，解题思路需要做些选择
失败的思路1，直接使用均值不等式 $3 x^{2} + 4 y^{2} \geq 212 x y$ $- 9 x^{2} - 16 y^{2} \leq - 24 x y$ 以上，符号不一致，难以原等式转化为不等式，放弃
失败的思路2，通过完全平方，确定主元 $- 9 x^{2} - 16 y^{2} = - (3 x + 4 y)^{2} + 24 x y$ 但等式中 $3 x^{2} + 4 y^{2}$ 难以处理，放弃（若不是 $3 x^{2} + 4 y^{2}$ 而是 $3 x + 4 y$ 则此方法非常可行）
思路3，通过 $x^{2} 、 y^{2}$ 作为主元构建二次方程除 $x^{2} 、 y^{2} 、 x y$ 外，其他部分全是 $x y$ 表达式，OK

👉※ 判别式求最值关键是：构建二次方程

即 $a M^{2} + b M + c = 0$ 这里

$M$ 任意，无要求；
a、b、c 是一元多项式，或者复合一元多项式比如，都是k的多项式比如，都是3x+2y的多项式
判别式中的“元”是目标表达式，或与目标表达式紧密相关

👉※ 判别式求最值为什么成立？

以本题为例当得到 $x^{2} (3 x y - 9) + x y (8 x y - 14) + y^{2} (4 x y - 16) = 0$ 后为什么一定有 $Δ = (8 x y - 14)^{2} - 4 (3 x y - 9) (4 x y - 16) \geq 0$ ？以及，为什么这样得到的xy范围，就是最值？

其中一个关键是，以下方程等价

$x^{2} (3 x y - 9) + x y (8 x y - 14) + y^{2} (4 x y - 16) = 0$
$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}} y^{2}$
$(x - \frac{- b + b ^{2} - 4 a c}{2 a} y) (x - \frac{- b - b ^{2} - 4 a c}{2 a} y) = 0$

因此

所有满足方程1(即原始条件)的xy，都必然满足方程2 因此，方程2中的 b^2-4ac ≥ 0，必然因此，判别式非负，是一个必要条件
判别式非负，是不是充分的呢？首先，不是所有让Δ≥0的x、y，都能让等式成立其次，给定 Δ=固定值，是否有一组x、y让等式成立最次，让 Δ=0的x、y，针对此题必须存在（即等号条件）

方法2，背后的思考与细节

附：方法2，判别式法变式，k值法，草稿

👉※ 二次方程的几个形式

常见形式： $a M^{2} + b M + c = 0$
二个未知数： $a M^{2} + b M N + c N^{2} = 0$
倒数形式： $a M^{2} + b + c \cdot \frac{1}{M ^{2}} = 0$

注：最后一个形式中，b和c不要弄错注：如果对后两个形式感觉不舒服，可以变成一般形式 $a M^{2} + b M N + c N^{2} = 0 ⟺ a (\frac{M}{N})^{2} + b \cdot \frac{M}{N} + c = 0$ $a M^{2} + b + c \cdot \frac{1}{M ^{2}} = 0 ⟺ a M^{4} + b M^{2} + c = 0$

方法3，背后的思考与细节

👉※ 齐次化

这里的转化 $\frac{8 x y}{3 x ^{2} + 2 x y} + \frac{3 x y}{x y + 2 y ^{2}} = x y$ 让问题迅速变得清晰原因是什么？

首先是链接思维，这个转化让目标“xy”得以清晰体现
其次，齐次化，分子分母都是二次，让逻辑得以清晰体现题目给的条件， $\frac{8}{3 x ^{2} + 2 x y} + \frac{3}{x y + 2 y ^{2}} = 1$ ，为什么能限制xy的大小？看起来是不定方程，x、y有无穷的可能性但方程还是提供了约束只是，这个约束以“冰冷”的方程，难以直观感受的形式呈现。齐次之后，x、y的相互约束，以“x/y”“y/x”这个形式体现。这个约束变得简单、直接。可以说：齐次化（👉※ 齐次化），是高级的 👉数学表达、约束表达

👉※ 知识的建立过程是学习的核心、※ 均值不等式的构造应用

这一步， $\frac{8}{3 m + 2} - \frac{6}{m + 2} = (\frac{8}{3 m + 2} - \frac{6}{m + 2}) (3 m + 2 - 3 (m + 2)) \cdot (- \frac{1}{4})$ ，如何想到？如果完成过：用“均值不等式”推理“柯西不等式”，就不难理解学习不等式，至少要把不等式的推理独自完成学习时，把时间花在这上面

👉※ 规则化公式化、※ 减法柯西不等式

方法3中提到， $(A - B) (M - N) \leq (A M - B N)^{2} A 、 B 、 M 、 N \geq 0$ 相当于一个变化的柯西不等式这类归纳总结，是非常好的学习方式。并非为了这个结论，而是在总结的过程中，更深入的理解逻辑关系。

关于“方法4”和“方法5”

方法4草稿

👉※ 分式分解

如下分解 $\frac{9 m ^{2} + 14 m + 16}{3 m ^{2} + 8 m + 4} = 3 + \frac{- 10 m + 4}{3 m ^{2} + 8 m + 4}$ $= 3 + \frac{n}{3 ( \frac{4 - n}{1} 0 ) ^{2} + 8 \cdot \frac{4 - n}{1} 0 + 4} = 3 + \frac{100 n}{3 n ^{2} - 104 n + 768} = 3 + \frac{100}{3 n + 768 \cdot \frac{1}{n} - 104}$ 在分式求整数解时也常用，其思考方向是：把表达式中的变量尽量压缩到一个简洁的模块里，让其他部分是常数的形式，这显然有利于进一步分析。

👉函数值域

$3 + \frac{100}{3 n + 768 \cdot \frac{1}{n} - 104} \geq 3 + \frac{100}{- 2 3 \times 768 - 104}$ 这个处理，并非仅仅套用均值不等式，而是需要符号分析、单调性分析比较考验综合能力，以及分析能力

👉※ 分式值域

方法5，实际上给出了一个通用的求范围方法即 $\frac{a x ^{2} + b x + c}{d x ^{2} + e x + f}$ 这个表达式的取值范围（最大最小值）可以通过判别式方法取得。

写在最后

坐飞机上写了一阵子到香格里拉又写了2个大半天若您看了没感觉浪费时间，有点收获，给个好评呗

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

mathinkin

探索

〚260923〛条件最值☆☆☆📋

题目

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