题目

已知数集 $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} (1 ⩽ a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}, n ⩾ 2)$ 具有性质 $P$ ：对任意的 $i, j (1 ⩽ i ⩽ j ⩽ n)$ ， $a_{i} a_{j}$ 与 $\frac{a _{j}}{a _{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$ ．

（1）分别判断数集 ${1, 3, 4}$ 与 ${1, 2, 3, 6}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由．

（2）证明： $a_{1} = 1$ ，且 $\frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{a _{1}^{- 1} + a _{2}^{- 1} + \dots + a _{n}^{- 1}} = a_{n}$ ．