〚代数精编4.1-e4〛☆☆🙇

题目

已知 $A\left(\frac{3}{4},0\right),B\left(0,\frac{3}{4}\right)$，若线段 $AB$ 分别交幂函数 $f(x)=x^m,g(x)=x^n(0<m<n)$ 的图像于 $C,D$ 两点，且 $C,D$ 两点均为线段 $AB$ 的三等分点． （1）求 $m+n$． （2）定义：设函数 $y=\phi (x)$ 的定义域为 $[a,b]$，一组从小到大排列的实数 $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n$（其中 $x_0=a,x_n=b$，即 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$，$n$ 是正整数）将区间 $[a,b]$ 分割为 $n$ 个小区间，若存在常数 $M>0$，使得对任何正整数 $n$ 和 $x_1,x_2,\cdots ,x_{n-1}$，不等式 $\sum _{i=1}^n|\phi (x_i)-\phi (x_{i-1})|⩽M$ 都成立，则称函数 $y=\phi (x)$ 在区间 $[a,b]$ 上满足性质 $P$．设函数 $h(x)=f(x)g(x)$，试判断函数 $y=h(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上是否满足性质 $P$？若是，求 $M$ 的最小值；若不是，请说明理由．

导引

性质P的含义：

1. 值域的“分段”和，不会无限大，有一个上限（即M)
2. 一个有益的评估 $\sum _{i=1}^n|\phi (x_i)-\phi (x_{i-1})|$ 不会超过“曲线长度”
3. 另一个有益评估 $\sum _{i=1}^n|\phi (x_i)-\phi (x_{i-1})|$ 不会超过“曲线上下振幅的和” 即：M=上下振幅的和

$h(x)=x^{\frac{5}{2}}$ 最小值，即区间振幅，$2^{\frac{5}{2}}-1^{\frac{5}{2}}=4\sqrt{2}-1$

解答

$AB，y=-x+\frac{3}{4}$

👉※ 分点坐标🔺

$A\left(\frac{3}{4},0\right),B\left(0,\frac{3}{4}\right)$ 三等分点，靠近A， $x=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}+0\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ $y=0\times \frac{2}{3}+\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{4}$ 代入，可得$y=x^2$

同理，另一个 $y=x^{\frac{1}{2}}$

$m+n=\frac{5}{2}$

解析

附注

☆☆☆☆💯（必做好题）🏅（详细解读）📋（知识类）👍（好题）🙇（拓展思考）