〚代数精编4.1-e5〛☆☆💯📋

题目

已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ 的图像是由函数 $y=g(x)$ 的图像向右平移 $2$ 个单位， 再向下平移 $1$ 个单位所得． （1）求函数 $y=g(x)$ 的表达式． （2）求 $y=g(x)$ 的图像对称中心．

导引

解答

👉函数平移、※ 逻辑与规则

基于逻辑的思考方法

1. 同一个y，谁需要的x大？——f在右，g在左，f需要的x大 $g(x)=f(x+2)$ 或 $g(x-2)=f(x)$
2. 同一个x，谁得到的y大？——g在上，g更大，f小 $g(x)-1=f(x+2)$
3. 故：$g(x)=f(x+2)+1=\frac{x+4}{x+1}+1=\frac{2x+5}{x+1}=\frac{3}{x+1}+2$

基于规则求解

1. 从f(x)还原，向上平移1，即：f(x)+1
2. 向左平移2，即：f(x+2)+1
3. 规则：y的平移，直接加减；x的平移，加减相反

两种方式比较 基于逻辑，学习初期阶段需要掌握，时间长也不会忘记，有利于解决更多延申问题，但速度略慢 基于规则，学习中期阶段需要掌握，时间长容易忘记，针对性解决问题，速度快

👉中心对称

一个不太对的理解 对任意a，成立：$f(x)=\frac{f(x-a)+f(x+a)}{2}$ ——主要原因：中心点未必是函数曲线上 ——这个理解，来自于 $y=\frac{1}{x}$ 案例 ——这个理解，需要消耗时间；如果归结为逻辑，就是对于“中心对称”的定义不够严谨

一个好的理解 对于任意a、b，成立：$f(x-a)+f(x+a)=f(x-b)+f(x+b)$

实际应用求解

预处理：$g(x)=\frac{2x+5}{x+1}=\frac{3}{x+1}+2$

求x，对任意a、b满足：$\frac{3}{x+1+a}+\frac{3}{x+1-a}=\frac{3}{x+1+b}+\frac{3}{x+1-b}$

1. 第1步简化：$\frac{6(x+1)}{(x+1{)}^2-a^2}=\frac{6(x+1)}{(x+1{)}^2-b^2}$
2. 第2步：$(x+1)(a^2-b^2)=0$
3. 故：$x=-1$

换个方法，让a=1，b=2，直接求解 即，解方程：

$\frac{3}{x+1+1}+\frac{3}{x+1-1}=\frac{3}{x+1+2}+\frac{3}{x+1-2}$

——这个方法，逻辑上，没有直接用a、b严谨

再一个方法：直接分析无关性

即，$f(x-a)+f(x+a)=\frac{3}{x+1+a}+\frac{3}{x+1-a}$ 与 a 无关 考虑到 $\frac{3}{x+1+a}+\frac{3}{x+1-a}=\frac{6(x+1)}{(x+1{)}^2-a}$ 只有当 $x=-1$时，计算结果与 a 无关

最好的方法，

1. 需要知道：$\frac{2x+5}{x+1}=\frac{3}{x+1}+2$ 是由 $\frac{1}{x}$ 通过平移+拉伸得到 ——平移，意味着“中心点”也跟着平移
2. 倒推平移 —— $\frac{1}{x}$ y轴拉伸3倍 $\frac{3}{x}$ —— $\frac{3}{x}$ x轴左移1个单位 $\frac{3}{x+1}$ —— $\frac{3}{x+1}$ y轴上移2个单位 $\frac{3}{x+1}+2$
3. 中心点（0，0）左移1，上移2，得到：（-1,2）

注：求中心对称的中心点，关键只要找到中心点x值即可 注：对称点，未必在曲线上。对称点的y值，可能需要两个对称的y求均值得到。

解析

附注

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