题目

已知函数 $y = \frac{a x + 1}{x + 2}$ (常数 $a \in Z$ )，问：是否存在整数a，使该函数在区间 $[1, + \infty)$ 上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出所有符合条件的a；若不存在，请说明理由

导引

对 $y = \frac{a x + 1}{x + 2}$ 的简化处理，是解题第一步 $y = \frac{a x + 1}{x + 2} = a + \frac{1 - 2 a}{x + 2}$ 注： ——这一步处理并不难，但“想到这么做”是最重要的 ——其底层思想是简化思维，对分式做 ※ 分式分解，是常见做法
$a \in Z$ 整数，这个条件不能忽略，也不用主动处理稍后用来检验即可
“严格减”，是一个主要信息严格减相当于 “1-2a>0”，即： $a < \frac{1}{2}$
“函数值不恒为负”，是最难处理的信息 “不恒为负”，仔细、认真的想明白翻译成“纯数学表达” ※ 题干信息数学化 $y = \frac{a x + 1}{x + 2} = a + \frac{1 - 2 a}{x + 2} \geq 0$ 有解，至少有一个解即可考虑到 $x \geq 1$ ，不等式等价于： $a x + 1 \geq 0$
综合考虑所有条件若 a>0，同时 $a < \frac{1}{2} ， a \in Z$ 无解若 a=0， $a x + 1 \geq 0$ 恒成立，OK 若 a<0， $a x \geq - 1$ 即 $x \leq - \frac{1}{a}$ ，又 $x \geq 1$ ，故 $- \frac{1}{a} \geq 1$ ——故： $- 1 \leq a < 0$ ——a=-1，检验 OK
答案：a=0、-1

所谓“求参数”问题就是：充分利用所有信息，把参数范围不断的缩小

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