解二次方程

是什么

关联与解读

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参考资料

• 《新思路8上》17.2(2)，因式分解法

思想是 降维简化

即：将2次降低为1次

• 类似于，二元方程组解题思想是：将2元降低为1元
• 简化思想，在解题中占据重要位置 基础方法，2个
• 其一，$如果：x^2=a^2；那么：x=\pm a$
• 其二，$如果：(x-a)(x-b)=0；那么：x=a，x=b$
• 所有其他方法，都是其变化

开平方法

基础问题

• 直接来自于第一个基础方法：$如果：x^2=a^2；那么：x=\pm a$ 变化形式
  1. $a(bx+c{)}^2=d$
  2. $a(bx+c{)}^2=d(ex＋f{)}^2$
  3. 可以转化为以上形式的二次方程，比如 无需执着于特定方法
• 比如 $m^2{x}^2+2m^{2}nx=n^2-m^2{n}^2(m\ne 0)$
  • 可以这么解：$(mx+mn{)}^2=n^2$
  • 也可以这么解：$(mx+mn-n)(mx+mn+n)=0$
• 比如 〚新思路8上-17.2(1)-5〛伪问题💯 这个问题没有意义 开平方的符号—— 逻辑严谨
• 问题的A面：解方程时，需要讨论确认符号
  • 针对 $x^2=a$
    • 错误做法：$x=\pm \sqrt{a}$
    • 正确做法：
      • $a>0，x=\pm \sqrt{a}$
      • $a=0，x=0$
      • $a<0，无解$
  • 练习，解方程： $x^2=-a$
• 问题的B面：根据方程的解，判断系数范围
  • 〚新思路8上-17.2(1)-1〛⭐系数范围💯

因式分解法

部分题目，尤其适合因式分解

• 〚新思路8上-17.2(2)-12.8〛✶✶💯
• 〚新思路8上-17.2(2)-12.9〛⭐根因子解方程
• 〚新思路8上-17.2(2)-13〛⭐⭐因式分解法👍
• 〚新思路8上-17.2(2)-14〛⭐⭐⭐因式分解法🏅

配平方法——※ 规则化公式化

配方法，不是一个新方法，是开平方法的规则的实现过程 细节1，常数项化为二次项

• $a{x}^2+bx+c=0$
• 改造2次项：$(\sqrt{a}x{)}^2+bx+c=0$ ——如果：a<0；那么：同乘-1，变号
• 改造1次项：$(\sqrt{a}x{)}^2+2\times \sqrt{a}x\times \frac{b}{2\sqrt{a}}+c=0$
• 改造常数项：$(\sqrt{a}x{)}^2+2\times \sqrt{a}x\times \frac{b}{2\sqrt{a}}+(\frac{b}{2\sqrt{a}}{)}^2+c-(\frac{b}{2\sqrt{a}}{)}^2=0$
• 完成：$(\sqrt{a}x{)}^2+2\times \sqrt{a}x\times \frac{b}{2\sqrt{a}}+(\frac{b}{2\sqrt{a}}{)}^2=(\frac{b}{2\sqrt{a}}{)}^2-c$
• 即：$(\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}{)}^2=(\frac{b}{2\sqrt{a}}{)}^2-c$
• 以上过程，至少需要独自完成一遍 细节2，常数项提出来
• $a{x}^2+bx+c=0$
• 预处理：$a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=0$
• $a(x^2+2\times \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2-(\frac{b}{2a}{)}^2)+c=0$
• $a(x^2+2\times \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2)-\frac{b^2}{4a}+c=0$
• $(x+\frac{b}{2a}{)}^2=(\frac{b^2}{4a}-c)\frac{1}{a}$
• $(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
• 以上过程，至少需要独自完成一遍
• 〚新思路8上-17.2(3)-13〛⭐退化方程👍 细节3，消除常数项
• $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}$
• $x^2+2\times \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2-(\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{c}{a}=0$
• $(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ 参考 〚新思路8上-17.2(3)-3〛配方法的4个样子💯 配方法，进一步熟悉
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配平方-配常数项

这是一个有趣、独特的思路

• 配方法的底层逻辑是什么？
  • ——消除二次项、一次项，变成平方项，剩下常数项
• 配”常数项“，可以实现同样的价值
  • ——消除一次项、常数项，变成平方项，剩下二次项 〚新思路8上-17.2(3)-3〛配方法的4个样子💯

公式法

不是一个方法，只是一个结论 公式法，系数必须和一般形式对应

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