问题
两个数A与B，和是18，差是4，求A=？，B=？
解法1，数值逼近——最初的朴素思维
- 随便找一个和为12的组合
- ——我猜，是8和10…
- ——咦，差只有2…
- ——大的更大点，小的更小点…一个11一个7…
- ——OK!
- 最初的样子
- ——这就是每个人思考最初的样子
- ——所有人都熟悉，几乎每个人最早都用这个方法
- 既不蠢也不笨
- 持续到大学，依然在应用此思想模式，
- 在计算机领域更是广泛应用
- 致敬朴素又有作用的方法
- 改进调整过程
- 比如：1+17=18
- 但1和17之间，相差16，
- 比想要的，“差4”，多了很多
- 需要一步一步调整吗？16-4=12
- 调整12吗？不，调整一半（12÷2=6）即可：
- 大数=17-6=11
- 小数=1+6=7
- 模式思维：在朴素工作基础上，继续寻求规范化、一般化、简洁有效的解决问题的模式。
- 在此基础上，首先便明确出了成熟的单因素解决方案
解法2，分步思想 分步简化
参考 分步思想 > 多条件问题中的应用
核心规则
规则
- 先满足第1个条件
- 保持第1个条件情况下，调整以满足第2个条件
- 保持第1、2条件情况下，调整以满足第3个条件
结构化变化
指向原始笔记的链接
- 不限制从那个条件开始
- 满足单一条件，有多个可能方法，并不限制从那个开始
- 如何保持已有条件、如何调整，是关键点
从“和”开始，求解过程
- 先满足A+B=18 比如：1+17=18；或者，0+18=18；或者 9+9=18 随便选一个，作为“准答案“，比如 1+17=18
- 调整，满足A-B=4 保持第1个条件，需要：一个减少，一个增加 第2个条件，当前，A-B=16，目标，A-B=4，差距12 调整1，差距减少2，故，调整12÷2=6 故：A=1+6，B=17-6
从“差”开始，求解过程
- 先满足A-B=4 比如：5-1=4
- 再满足A+B=18 5+1=6 18-6=12 12÷2=6 A=5+6 B=1+6
解法3，平均值解法/特殊值思维
我们发现：解法2中，从哪一组数开始都没关系
再做改进：何不固定一组开始？
首先，就找两个相等的数，相加等于12
12÷2=6
答案：
大数=6+差距一半=6+2=8
小数=6-差距一半=6-2=4
公式：
解法3B，平均值解法/化归思维
平均值解法，面临一个挑战：
如果“和 and/or 差”是奇数（单数），怎么办？
方案：
- 给小的数加个1
- 给小的数减个1
- 给大的数加个1
- 给大的数减个1
随便你
这样，无论和还是差，不能除2的问题就解决了
化归思维：经过适当调整，将问题变为另一个（更好解决的）问题
化归与同构的却别，前者通过外部调整，不改变问题主体形式；后者，结构化改变，保留核心逻辑，主题形式可能面目全非。
注：和差问题中，“和/差”必同时为奇数
解法4，大数为基准/等量代换思维、简化思维
以大数为基准，用■表示大数，即：
■=大数
分析解读（等量代换）
朴素的想，所有数量加加减减，变成和■有关系
- 大数=■
- 小数+4=■
- 18+4=小数+大数+4=■×2
从而：■=（18+4）÷2=（和+差）÷2
换个角度，用■表示所有数量
- 大数=■；
- 小数=■-4；
- 18=大数+小数=■×2-4；
从而：得到同样结论
以上两个思路，出发点不同：
前者，把“大数、小数、和12”都通过加点什么减点什么，变成以■为单位的表示
后者，把“大数、小数、和12”都用■的加、减、乘、除表示
等量代换，即：所有量都用同一个量表示，先求出这个量
分析解读（通过线段图）
以上，
如果“小数”补足差距4，“小数”也变成“大数”
从而：
2个大数=18+4
得解
此时公式：
解法4B，小数为基准
与“解法5”，如出一辙
你，应该能模拟出来
你，也需要做一次比葫芦画瓢的模拟——作为学习的一部分
参考图：
其关键是：
如果“大数”去掉差距4，“大数”变成“小数”
解法5，数形结合
所有和是18的两个数，如果“画”出来，会是什么样子
考虑几个情况：
- 如果一个数是0，另一个是18；
- 如果一个数是18，另一个是0；
- 如果一个数是1，另一个是17；
- 如果一个数是2，另一个是16；
- 如果一个数是9，另一个是9；
- 如果一个数是15，另一个是3；
- 如果一个数是4.5，另一个是13.5；
以上点，可以画成以下样子：
相差为4的两个数，“画”出来
考虑几个情况：
- 如果一个数是0，另一个是4；
- 如果一个数是1，另一个是5；
- 如果一个数是2，另一个是6；
- 如果一个数是10，另一个是14；
- 如果一个数是15，另一个是19；
交点，既是我们要找的答案
关于数形结合解法
- 直观、清晰的反映了“未知与约束”的关系
- 小学阶段，需要一定的“基础学习”才能较好的使用此分析方法
- 数形结合，对于初等数学，是很好的方法，也是很好思维练习
- 延申思考：
- 一定有交点吗？
- 有一个交点吗？
- 交点是整数吗？
- 交点是正数吗？
- 图形，几乎可以分析所有的初等数学问题
解题分析
各思路分析
朴素的解题思路，值得尊敬
这里朴素的解法，就是“解法1”
当
我们拥有了更好的方法，
常常
对最初的解法不屑一顾
但想到，
在初次接触这类题目时
在最早的一筹莫展的阶段
正是
朴素的解法，逐步帮我们打开了求解的大门
何况
此题中，基于朴素解法，迅速的找到了漂亮的答案
多做一步分析，下一铲子就是金矿
解法2、解法2B、解法3，都是基于朴素的解法1的持续分析得到
解法2，
隐含了“分步”解决问题的思想
隐含了“变与不变”，出发点不同，结果相同
这在很多问题中都有体现
解法2，本身是优雅的解决方案
基于朴素的分析，并不费力的得到这么漂亮的方案
这个方案，本身是典型的、基础的、有用的数学思维模式
找到这个解法，是件很酷的事情
解法2B，看起来和2类似
但2和2B结合起来，背后是深刻的数学思维
——找问题的本质
先确定A+B并不是本质，先确定一个条件才是本质
所以，我们可以选确定A-B
解法2、2B，是一个典型的数学思维
从过程看，是蛮有独特性的思维，并非常见的思维
从结果看，找到了最简洁的解题公式
找到这个解法，是件值得骄傲的事情
解法3，中规中矩的一个解题思维
解法4，最常见的方法，背后的等量代换思维，举足轻重
解法5，有益的思维扩展，建立“未知与约束“的基础，进一步数学学习的重要基础
不要止步于、满足于“问题的解决”，更多关注“问题是如何解决的”
前者，会让你
变成一个熟练工
变成流水线上的工人
变成一个匠才
变成解题机器
后者，让你
学会数学思维
不再机械
让你拥有灵魂
即：当你找到了“解法5、解法6”，你拥有了新的解决问题的能力
并非针对这个问题，而是针对更广泛的一类问题。
重视更底层的思维模式
“数形结合“，是更底层、应用更广泛的解决问题的模式
这个层面，离数学更近
关于“等量模型”
所有数量都有多个表达方式，即：等量模型——它们是同一个量，是相等的量
以“虚拟单位，■=大数“为例：
对于大数，以下表达方式相等，数量相等，是同一个数，可随时相互替换
- 大数这个数
- 8（虽然可能还不知道，但总有这么一个数字）
- ■
对于小数，以下表达方式相等，数量相等，是同一个数，可随时相互替换
- 小数这个数
- 4（虽然可能还不知道，但总有这么一个数字）
- ■-4
对于和，以下表达方式相等，数量相等，是同一个数，可随时相互替换
- 和
- 12
- 大数+小数
- ■×2-4
给所有数量，找到一个“规范”的、统一用虚拟单位■表达的方式
这是我们的目的
我们最熟悉的题目，是什么？
- 一个数比5大2，这个数是多少？
- 一个数的3倍是21，这个数是多少？
上面这类题目，我们可以称之为“元题目”，即最小的、最简单的题目
我们说，数学解题，就是“链接”
链接什么呢？就是把复杂一些的题目，通过一系列思维、方法、手段，把它变成我们熟悉的“元题目”，这个中间思考的过程，这个中间解题的过程，就是“链接”。
我们找一个虚拟单位
我们给每个数量找到等量的表达方式
当数量都可以和虚拟单位发生关系，原来题目中复杂的关系，就转变成简单的“元题目”这样关系——我们就把复杂的题目变成了我们熟悉的简单题目
而后，现在看起来复杂的题目，又会在熟悉之后变成我们的“元题目”，用来解更复杂的题。
总结
采用虚拟单位，给每个数量找一个规范的等量表达
这个等量模式，就是我们解题的底层逻辑
第一次“多条件分析”
在这之前的问题，都是“一元问题”，都是“一个条件”
和差问题，开始出现“2个条件”“2个未知的量”
带来的解题难点是：需要学会“把2个条件组合起来分析”，产生更好用的约束表述
这个难点，也是将来解更复杂题目的基础的分析能力
是解题环节中正推发散的基础
这里，一个附加价值点：
当知道A或B，求另一个，有两种方法
这是锦上添花
这朵花很漂亮——能慢慢感知到背后的“信息思维“
和差问题，学什么？
如果只是公式，暴殄天物
这么好的题目，当剧透了公式，再去思考就难了：
- 有“虚拟单位”的意识
- 最好有点感觉，找“虚拟单位”是来源于什么最初的想法（简化题目、链接知识）
- 公式，顺便会；且，可忘掉。
【教与学】数学教育，最难的两点
一是，自己懂
- 懂这道题怎么做，懂这类题怎么想
- 懂题目背后的含义
- 懂这道题的各方面价值
- 懂需要给小朋友传递什么，即小朋友学什么
二是，忍
忍得住冲动，耐住性子，等着孩子自己去想。
也许想的不着调，也许想的七扭八歪，别嫌弃，当初未必如她。
只要想，就对了。
太多孩子的问题就是，太少习惯于思考，太多习惯于被灌输。
这是孩子的问题，但不是他们的责任。