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分数之间

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分数/分数之间

  • 基础问题
    1. 求介于“7/8”与“8/9”之间的一个分数；
      • 说明：最基础的一道题目
        • 考验对“分数性质”的理解
        • 学习、练习“利用交叉知识灵活解题”
      • 参考《典型问题分析》
    2. 罗列3个介于“7/11”而小于“8/13”的分数；
      • 说明：进一步强化“分数性质”，以及增强综合解题分析能力
  • 强化练习
    1. 大于“7/11”而小于“8/13”的分数有多少个？
      • 考察“逻辑严谨性”
    2. 罗列所有介于“7/11”和“8/13”之间，且分母为100的分数；
      • 增强综合解题分析能力
    3. 罗列所有介于“11/20”和“13/20”之间，且分子为80的分数；
      • 强化“对齐思想，分子分母同构，广义通分”
    4. 罗列100个介于“7/11”和“8/13”之间的分数；
      • 增强综合解题分析能力

典型问题：求“7/8”与“8/9”之间的一个分数

方法1，通分——最易想到

  • 《市北》教材给出的例子（有点傻）

方法2，通分子——略作变化，小有灵气

  • 问题：
  • 解答：
    • 2、3很近，放不下一个数字——那就放大一些
    • 在2/6和2/4之间，自然是2/5，得解
  • 如果需要读个分数，就放大的更大一些

方法3，糖水原理——最简洁、最优雅

  • 问题：
  • 解答：
  • 即：中间的——分子相加、分母相加——便是答案
  • 方法，值得喜欢
    1. 可应用于任意两个分数；
    2. 不需要知道两个分数的大小关系；
    3. 不需要通分等操作，几乎毫无计算量；

方法4，数形结合

  • 若寻求7/8和8/9之间的分数，这是一系列答案 \frac{7}{8}<\frac{7}{8}×0.1+\frac{8}{9}×0.9<\frac{8}{9}$$$$\frac{7}{8}<\frac{7}{8}×0.2+\frac{8}{9}×0.8<\frac{8}{9}$$$$\frac{7}{8}<\frac{7}{8}×0.01+\frac{8}{9}×0.99<\frac{8}{9}
  • 一般格式（两点之间）：

方法5，加权平均

  • 若寻求7/8和8/9之间的分数，这是一个答案——求平均值
  • 一般格式，加权平均角度：

方法6，模式思维——换个角度

  • 若寻求1/3和1/2之间的分数，我可以简单如此：

不同方法分析

方法2，来自于对思维模式的“深入探究”

  • 思考
    • 为什么要通分，目的是什么？
    • 是否有其他手段达到这个目的？
  • 解读
    • 通分（母）、通分子有相同的思维模式，即
      • 【降维简化】，将2个维度（分子、分母）的比较，简化为一个维度的比较
      • 也是【比较思想/对齐方法】的一个应用
  • 故
    • 因此，适用通分母的地方，常常也适用通分子
    • 即便是计算，也有参考价值。比如
      • 2/7 -2/9=2（1/7-1/9）
      • 3/5-4/7=12/20-12/21=12（1/20-1/21）

方法3，来自于底层逻辑【糖水原理】

  • 如果不知，是一个学习的机会
  • 如果已知，是一个巩固的机会

方法4，方法5，来自于【同构思维】

  • 形式同构/数形结合
    • 在“两个数”之间
    • 在“两个点”之间
  • 逻辑同构
    • 在“两个数之间”
    • 平均值，就是在“两个数之间”
  • 这很有趣
    • 感受“同构”价值，
    • 进一步，感受底层数学思维的力量
    • 横向，学习知识、强化知识 方法6，所谓【模式思维】
  • 就是换个角度，看问题

课堂参考

关系图谱

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