〚一课一练·8上-11周-21〛⭐💯

题目

已知，如图有4个直角，AB=BC=AD，E是BD上任意点；证明，BH=EF+EG 归属：三角全等、※ 面积传递信息（面积法）、线段和、等腰直角三角形、※ 一题多解 ——基础的线段和问题 ——练习、体会不同的处理方法 年级：7年级

解答

方法1——面积法——最简单的方法

$不妨定义AB=BC=AD=a；有：$ $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot a$ $S_{ABD}=S_{ABE}+S_{AED}=\frac{1}{2}\cdot EG\cdot a+\frac{1}{2}\cdot EF\cdot a$ $故：BH=EG+EF$

方法2——长线段切割——常规思路

如图，做垂线，然后证明一次全等 $EGB≌BIE$

方法3——长线段切割——常规思路

如图，做平行线，然后证明一次全等 $EGB≌IHF$

方法4——短线段连接——常规思路

如图，做对称点I，依次证明 $EF=EI，BH=BJ=GI$ 注：BED是∠HBJ、∠FEI的角平分线，这一点证明中需要（可以倒推发现这点）

方法5——短线段连接——常规思路

如图，做矩形，然后证明$EGB≌EIB$

方法6——小变化

如图——仅用来说明“线段的连接”这个常规思路好用，可随意发挥 还有其他更“蹩脚”的方法，不再花心思寻找

方法7——相似或三角函数——更高的观点

这个方法用到8年级以上的知识，用于开拓思路 $不妨，定义m=cos(22.5°)；有：$ $EF=ED\cdot m；$ $EG=BE\cdot m；$ $BH=BD\cdot m$ 显然 $BD=BE+ED$；故 $BH=EF+EG$

分类

等腰直角三角形 线段和 三角全等

思维

※ 面积传递信息（面积法） ※ 一题多解 > 一个思路多个方法 化归思想 > 基于数量关系，将一个逻辑转为另一个逻辑 以上，方法7 ——这个思路，与面积法，有相通之处 ——这个思路，与解析几何，有相通之处 ——这些思路，本质是：将线段的加减转化为其他数量的加减

备注

这是一个比较不错的题 难度不算太高，所有能力的学生都可以做一做 这道题为什么值两星⭐⭐难度呢？ 如果采用“面积法”，难点在于思路本身不容易想到 如果采用“线段切割连接”，则本身存在辅助线构思+证明，两个难点

课堂笔记