〚新思维9-6-e6〛✶✶✶💯

题目

如图，已知抛物线$y=a{x}^2+bx+c$ (a≠0)顶点为(1,1)，且过原点O。过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4作垂线，垂足为M，连接FM （1）在直线z=1上有一点F(1,3/4)，求以PM为底边的等腰△PFM中P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形 （2）对抛物线上任意点P，是否存在点N(1,t)，使PM=PN恒成立？请说明理由 ——关联： 知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数、方程思想、约束表达、倒推聚焦、📝因式分解 ——题目有一定难度，综合应用到很多基础知识和能力 ——#中考题 湖北黄冈 ——关联问题：〚251104〛✶👍 ——链接： 〚新思维9-6-e6〛✶✶✶💯

解答

准备工作，计算二次函数表达式

• 仅有顶点信息，顶点相当于2个信息
• 特别的，这里使用抛物线方程（顶点方程）：$y=a(x-1{)}^2+1$ ——简化：$y=a{x}^2-2ax+a+1$ ——过原点：a=-1 ——故：方程：$y=-x^2+2x$
• 注：使用一般方程方法 ——$\frac{-b}{2a}=1$ ——$a+b+c=1$ ——$c=0$

第（1）问， 根据“等腰、底边、F点坐标、直线方程、抛物方程”这几个信息求解

• P点坐标：根据等腰、底边、垂直 等 ——过F作MP的垂线，也是中点 ————$F(1,3)$ ————$P_y+M_y=F_y\times 2$ ————$P_y+\frac{5}{4}=\frac{3}{4}\times 2$ ————$P_y=\frac{1}{4}$ ——求$P_x$ ————$-4x^2+8x=1$ ————$x=\frac{8\pm \sqrt{48}}{8}=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}$
• 倒推，如何证明等边，仅需要60°；如何60°，仅需要三角比例 $tan=\frac{F_y-P_y}{F_x-P_x}=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{1-\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 第（2）问，关于二次函数的焦点与准线
• P点坐标：$(s,v)，这里v=-s^2+2s$
• $PM=\frac{5}{4}-v$
• $PN=\sqrt{(s-1{)}^2+(v-t{)}^2}$
• $PM=PN$即 $\frac{5}{4}-v=\sqrt{(s-1{)}^2+(v-t{)}^2}$
• 看作关于t的方程，求解有以下2中情况
• 都可以得到一个固定的解：t=3/4

注：以上十字相乘，是一个典型的问题 $16x^2-32mx+24m-9=0$

附注

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