是什么

关联与解读

本节为 Obsidian 动态视图（自动关联列表），网页版暂不展示。

下层 ※算两次，典型的列方程方法 下层 几何计算·解三角，大量使用方程方法

方程思想习题精选

两大逻辑步骤：数值表达、列方程

数值表达

• 工作1，设未知数
• 工作2，基于各类信息、关系，用未知数表达需要的数量 列方程
• 准备工作，将”关系“翻译成”伪方程
• 最终目的，含未知数的等式 任意性
• 任何一个信息，可选择用于“数值表达”，也可用于“列方程”
• 任何一个关系，可选择用于“数值表达”，也可用于“列方程”
  • 比如信息：“总量=100”；
  • 比如关系：“a是b的2倍少5” 方便性原则
• 虽然，信息、关系用于“数值表达”还是“列方程”，并无限制
• 但，从方便性考虑，却有好用的原则，即：
  • 简单的信息、关系，优先用于“数值表达”
  • 复杂的关系，有限用于“列方程” 若数值表达用了复杂约束，方程使用相对简单约束，有可能导致方程复杂不好解 〚新思路9-24.4(4)-11〛 ✶✶🏅

    题目

    指向原始笔记的链接

    清晰约束选择思路：数值表达、方程明确分工 〚新思维9-6-2〛⭐⭐🏅

    如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线$y=a{x}^2+bx(a>0)$的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线$y=a{x}^2(a>0)$交于点B.若四边形ABOC是正方形，求b=？ 归属：知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数、☆正方形、约束表达、方程思想 —— 题目解出来，感觉不难 —— 清晰顺畅的找到解题思路，需要较好的基础 —— 思路选择不好，可能题目做的麻烦 —— 不错的一道题目 年级：9年级 中考题 2018 浙江湖州

    指向原始笔记的链接

列方程的难点，在于清晰的找到约束是什么

题目

指向原始笔记的链接

列方程细节：保留原始逻辑

保留原始逻辑，不做处理 参考：结构化数值分析🔺 > 关系表达，保持逻辑痕迹

列方程，灵活应用 约束表达

参考 知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数 中“已知顶点求函数” 〚新思维9-6-e6〛✶✶✶💯

题目

指向原始笔记的链接

列方程解题的实际方法

1. 基础工作，找好关系，做好关系的表达

• 差不多也是解题的基础步骤；如果题目难，常常也难在这一步
• 参考 数量关系分析、数学表达

2. 第一步，确定“哪个或哪些关系用于列方程”

• 用1个还是多个未知数，先有个方向
• 哪个（哪些）关系用来列方程，要确定，重要是：“保护起来”

3. 第二步，确定未知数，确定重要数量的数值表达

• 相对容易的一步，只要留意未知数选择原则即可

4. 完成列方程

• 相对容易的一步，如果感觉有点难，可以增加一步 “伪方程”

与 结构化数值分析🔺 一致性

如下：

• 结构化数值分析，使用字母，完成题目关系的表达
• 方程，使用未知数，完成数值表达、方程表达 两者无本质差异
• 在数值表达上，等价
• 在关系表达上，等价
• 特别是，在重要的“关系挖掘”上等价 可从以下角度，进一步抹平差异
• 未知数未必是x，y，z
  • 还可以是 a、b、c，m、n…
  • 还可以是①、②、③…
  • 还可以是▲、⚪…
  • 还可以是∠1、∠2…

在数值分析种，简单关系体现为数值表达；复杂关系体现为方程

题目

指向原始笔记的链接

方程的核心与难点

核心、难点，是同一个：关系，常体现为以下2种情况

• 隐含的关系没有发现、无法发现
• 题目告知的关系，不能转化成清晰的逻辑约束关系
• 关于关系的种类，参考 数量关系分析
• 关于关系的转化，参考 数学表达

信息的重复使用

最初，这是容易出现的最令人迷惑的一个坑

• 在”数值表达“中，不可借助用于列方程的“关系”； 否则，容易得到类似于“x+(100-x)=100”这样的无效方程 可以参考关于“零和游戏”的解释理解这一点 注：
• 用于列方程的“关系”，可否辅助用于“数值表达”？
• 答案大抵成立——可借助方程组求解中方程信息的使用来理解

零和游戏

前面，我们看到：

• 信息、关系，可以用于数值表达，也可用于列方程 前面，我们还看到：
• 可以消耗两个关系，列2个方程；
• 也可以消耗一个关系，列一个方程——那，会节约一个关系吗？ 这里，有一个 零和原则
• 若题目中信息（含关系）个数一共10
  • 列一元方程：消耗9个信息用于数值表达，消耗1个信息用于列方程
  • 列二元方程：消耗8个信息用于数值表达，消耗2个信息用于列方程
  • 以此类推
• 无论如何使用信息（含关系）
  • 不可能节约一个条件（信息、关系），只用9个
  • 也没可能多用什么条件，不管怎么用，也不可能用出来11个条件
  • 不是你多我少，就是我多你少
  • 是为：零和游戏

方程、非方程，两手都要抓

• 方程能力，需要扎实——它是干活的有利武器
• 方程能力，容易达到上限；非方程求解能力，要持续提升，上限较高
  • 大部分综合题目，其每个步骤、细节，都是一个小题目
  • 小题目，非方程方式解决，才会（整个解题）顺畅；
  • 若小步骤、小细节也离不开方程，则
    • 整个时间拖长，难以承担
    • 每个步骤时间拖长，影响思路连贯，影响建立整体解题思路

方程的解

x=x，也是方程，有无穷无尽的解 0x=3，也是方程，无解 0x=0，也是方程，有无穷无尽的解

未知数个数与方程个数

非常好的一个应用示例：

题目

指向原始笔记的链接

退化方程 → 约束关系 - 参数思想

关联：约束表达 关联：参数思想

〚举一反三8-9-4.e〛⭐⭐⭐🏅

已知实数a,b,x,y满足$a+b=x+y=2，ax+by=5$， 求：$(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)$ 的值. 关联：代数式-整式、链接思维、方程思想、构造思想 ——考验信息使用的不错题目 ——有不同的解题思路 ——需要较扎实的基础能力 ——漂亮题目 年级：7年级

指向原始笔记的链接

——如下，转化出x+y，xy的约束信息 〚举一反三8-9-4.3〛⭐⭐⭐🏅

已知实数a,b,x,y满足$ax+by=1,a{x}^2+b{y}^2=7,a{x}^3+b{y}^3=16,a{x}^4+b{y}^4=42$，求$a{x}^5+b{y}^5$ 关联：代数式-整式、信息代入、方程思想 ——方法：创建信息，代入辅助的构建算式 年级：7年级

指向原始笔记的链接

〚举一反三8-10-5.e〛⭐⭐⭐🏅

已知实数 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 满足 $x_1^2+25x_2^2=10，x_2{y}_1-x_1{y}_2=25，x_1{y}_1+25x_2{y}_2=9\sqrt{55}$求 $y^2+25y^2$ 的值 关联：代数式-整式、方程思想、信息代入、构造思想 ——可以直接计算，思路简单，但考验计算能力 ——可以构造求解，考验构造思想以及链接能力 ——总归，基础能力好，可以解出较难题目 年级：7年级

指向原始笔记的链接

〚举一反三8-9-4.1〛⭐⭐🏅

题目

指向原始笔记的链接

示例，8年级，几何证明题中的方程应用

〚新思路9-24.4(2)-10〛⭐⭐🏅

如图，已知在正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN =∠MBC，MN交CD于点N；求证：DN=2CN 归属：三角相似、几何计算·解三角、※辅助线原则、结构化数值分析🔺、方程思想、正推发散 ——针对角度的结构化分析，有利于找到相似 年级：8年级

指向原始笔记的链接

方程思想的和谐应用

〚250726〛等腰切分⭐⭐⭐🙇

题目

指向原始笔记的链接

the end.

2024.07.10 丽水