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〚新思路8上-19.2(6)-e2〛⭐⭐🏅

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题目

如图，已知：AD是▲ABC的中线，AE是▲ABD的中线，且AB=BD，求证：AC=2AE 归属：草图原则、三角全等、※辅助线原则、中点中线、三角相似、 ——很多个解题方法 ——练习画图的好题目 ——体会辅助线原则 ——参考 〚241130-1807〛多线段相等.docx —— 〚一课一练·8上-11周-22〛重复 年级：7年级

解答，方法1，中点中位线

如图：

这个方法如何想到？

  1. 基于 倒推聚焦，如果证明2倍？ ——将长线段截断成一半 ——因为直接方法只能是线段相等
  2. 基于 D是中点的 正推发散 ——中点到中位线，是中点价值的无损切换 ——背后体现为平行线传递信息（这也会有更大价值，后面给出1:3的证明方式

解答，方法2，中点中位线

这个方法，与上面类似 仅仅，通过“中位线”得到“半个长度”，而非直接用中位线截断。

解答，方法3，中点全等

如图 这个方法如何想到？

  1. 倒推，把短线段扩大2倍，然后证明线段相等
  2. 正推，中线延长1倍，构建的“分析单元”（平行四边形），是中点中线的“无损表达”

解答，方法4，中点全等

如图，2个三角形全等 ——与前一个方法如出一辙

解答，方法5，基于“相似”的三个方法

这2个三角形相似——什么样的思维方式，有机会看到这个结论？ 其一，【特征思维】 条件出现多个1:2的线段关系，结论也是1:2的线段关系 类似于所有“带方法”的计算，都依赖于“观察特征、利用特征” 类似于更多的题目，特征有时已经作为普通条件出现和被使用 任何情况下 特征，都代表着信息 从而，有机会看到了同一个∠B，同一个1:2比例的两条边，组成2个相似三角形 其二，【链接思维】 题目条件有1:2，题目结论也要1:2 因此，从建立逻辑链接的角度，“寻求1:2的三角形”成为需求

继续正推： 易得：α=β，m=n

基于相似的证明方法

如图

  1. 基于相似，易得AD是角平分线
  2. 由于 DC=2DE，故面积是2倍；
  3. 又因为高相等，故，AC、AE是2倍关系；得证 这个思路怎么来的？ ——基于知识点，“关于角平分线的单元分析——面积和长度的关系” ——注：角平分线，形成半相似 另一个思路的来源 ——基于倒推 ——因为底边是2倍关系 ——若边长也是2倍关系，那么必然是角平分线

基于相似的第2个方法

如图 基于α=β=γ，易得AA’C是等腰三角形 得证

基于相似的第3个方法，奇怪的方法

如图： 作：AE‘=AE 由AD是角平分线，易得：EE‘∥AD，得证

这个思路怎么来的？ ——链接思维，E’的存在，链接了已知、未知 ——这个方法的证明，依赖于AD是角平分线，这个结论又来自于相似

解答，方法6，基于“相似”的歧途，及强行改进

错误的思路

如图 有了上面α=β后，第一想法便是，若这对三角形相似，就得证了 可惜，它们不相似，这个思路走不通！

但是，未必就此打住

强行使用相似

如图： 如此，AE‘C相似ABE，故AC=2AE’，得证

注： 逻辑严谨角度，需要考虑∠AEC是锐角还是钝角 不影响证明过程成立

草稿

如图

蹩脚的方法

如上，这个方法，看起来不讲理 本来不相似，但改变为相似 一如，SSA不能证明全等，但依然不必放弃 数学问题中常会如此，【化归】不都是风平浪静。不是路不通，是需要一点努力而已。

解答，方法7，神奇的方法

海伦公式 相比较，如果a翻一倍，b翻一倍，面积翻4倍 是否可以推理出，c到C也是犯了一倍？

如果成立，那么本题立即可以得证 如图 考虑 ABE、ABC就是这种情况。

附注，关于 几何画图

画图过程

无效特征的干扰

如下，特别适合构建解题思路

附，一题多解

1) 无关乎炫技，有些方法根本没有实用价值 2) 整个过程，高效的学习、练习——一题多解比多做几题收获更多 3) 多个方法，来自于以下关键数学能力。因此也就说明了它们的价值。

【知识深度】比如关于“中点”的认识 【底层逻辑】关于“面积传递信息”、“平行线传递信息”、“” 【数学思维】比如关于“链接” 【基础能力】比如关于“正推发散、倒推聚焦、合理猜想”

掌握这些，并不容易。 但同时，好在无需要求太高。——掌握50%，就能得到好几个解法；掌握30%，基本能至少有解法了。这已经够了。

附，关于辅助线

辅助线来源

盲目测试，没有办法时，用一用；学习时不要如此 适当记忆，作为经验，可以提高效率；但仅仅适当，本身时理性思维的副产品。 学习中，重点练习：正推、倒推、链接，根据分析需求，增加辅助线

辅助线表现为

1，带来“链接”便利——处在已知之间、未知之间、已知未知之间 2，不带来麻烦——不产生、不需要陌生的点、线

关系图谱

反向链接