〚260227-1〛☆☆💯

题目

已知三次方程$x^3-6x^2+11x-6=0$ 的三个根为 a、b、c ，求 $a^2+b^2+c^2$ 和 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 的值 ——关联： 求值9-韦达定理、求值3-三元问题、约束表达🔺 ——链接：〚260227-1〛☆☆💯

方法1，韦达定理

方法2，直接代入

解题分析

约束表达

简介

解题时，翻译已知信息，做合适的表达，是解题基础，甚至关键。 表达有“简化（简化思维）、链接（链接思维）、推理（正推发散）”等方向 约束表达，本身是处理数学问题的基础思想，体现为解题手段；但其能力来自于相关知识的扎实积累。——首先有这个意识，然后发挥、积累具体能力。

1. ↘集合初步

指向原始笔记的链接

三次方程的根 的 约束表达

已知约束：已知三次方程 $x^3-6x^2+11x-6=0$ 的三个根为 a、b、c 约束表达①：

• $a^3-6a^2+11a-6=0$
• $b^3-6b^2+11b-6=0$
• $c^3-6c^2+11c-6=0$ 约束表达②
• $a+b+c=-(-6)$
• $ab+bc+ca=11$
• $abc=-(-6)$ 约束表达③：
• $(x-a)(x-b)(x-c)=0与x^3-6x^2+11x-6=0等价$ 约束表达④：
• $a=1，b=2，c=3$ （基于根因子因式分解） 约束表达⑤：
• $a=。。。$ (基于盛金公式)

表达与解题

约束表达①

• 是最易理解、最易得到的表达；但是，却难以用这个表达来解（此）题
• 这个表达方式，在 〚260227〛☆☆💯 中却是发挥了作用
• 可见：表达有合适与否之分
• 这个表达，客观上的不足：无法体现a、b、c之间不相等的关系。即：信息有所缺失 约束表达②
• 直接来自于 “韦达定理”；之于高次方程的韦达定理 ——要么不学 ——要么了解其推理过程
• 结论无需记忆 ——①不了解来源而记忆，我们的精力无法支撑这类学习方式； ——②其推理过程，很有价值，且不难，建议了解。特别是结合二次方程的韦达定理去学习，受益匪浅。 约束表达③
• 几乎就是韦达定理推理本身，最适合的解题方法
• 虽然④更简单，但不是所有的方程都可以做整数因式分解。因此，③的应用更广泛。
• 这道题求解，还依赖于 求值3-三元问题 作为基础 约束表达④
• 最为简单
• 与本题是锦上添花，没有也能做，有了更好 约束表达⑤
• 理论上的表达，中学阶段过于朝纲
• 但对于二次方程，这个表达方式有效

附注

👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-02-27 00:13