〚CMO-2024.2-改〛☆☆🏅

题目

The Intermediate Maths Challenge has 25 questions with the following scoring rules: 5 marks are awarded for each correct answer to Questions 1-15; 6 marks are awarded for each correct answer to Questions 16-25; Each incorrect answer or no answer to Questions 16-20 loses 1 mark; Each incorrect answer or no answer to Questions 21-25 loses 2 marks. Fiona scored 80 marks in total. What possible answers are there to the number of questions Fiona answered correctly? 英国数学中级测评(IMC)共有25道题目。评分标准如下： 1-15题，答对一题得5分； 16-25题，答对一题得6分； 16-20题，答错或不答扣1分； 21-25题，答错或不答扣2分。 Fiona一共得到80分。请问Fiona可能答对了多少道题? ——关联：CMO、数学表达、不定方程的整数解、〚CMO-2024.2〛☆☆🏅

解答

解题分析 - 数学表达 是 第1个基础

本题中的数学表达

即清晰的完成题目“80分”如何得到的表达式 包括以下几步

1. 读懂意思
2. 题目描述的是4句，但要抽象成3种情况
3. 定义3个变量，写出唯一的关系式 无论采用何种方式解题，基础关系的存在，总是有利无害 这代表对题目有了清晰的了解——可以开始分析了

数学表达

Transclude of 数学表达#是什么

解题分析 - 数论中的不定问题

不定问题 之 整除分析

1. 整数表达是关键一步 这里 $x+y+z=\frac{95-(2y+3z)}{5}$ 奠定了后续 整除 分析的内容，抽象出了一个清晰的数学问题：即 y和z 满足 什么条件，才可以让右边为整数
2. 整数表达的多样性 - 还有其他方法 比如 $x=\frac{95-(7y+8z)}{5}$ 比如 $y=\frac{95-(5x+8y)}{7}$
3. 假分数→带分数，是整除分析重要的一步 即 $x+y+z=\frac{95-(2y+3z)}{5}=19-\frac{2y+3z}{5}$

不定问题 之 必要条件、充分条件

1. 解题中，要求 $2y+3z=0、5、10、15、...$ 这是必要条件 ——必须要满足的条件
2. 但，仅仅满足 $2y+3z=0、5、10、15、...$ 未必是想要的答案 还需要：找到实际的x、y、z，以验证的确可以得到想要的结果 这是充分验证，确保无误

关于 不定方程的整数解

是什么

一个问题有多个可能解，一个方程有多个变化的量 常见情况：数论问题 求整数解、竞赛类型应用题 常用方法：整除 分析、📝因式分解 难点：表达出要分析的内容，即构建抽象的数学题，然后还要完成分析 整体思想：必要与充分 必要条件限制范围、充分条件验证答案

※ 规则化公式化 - 不定问题解题思想

两大步

1. 必要条件 答案不减少 首先实现价值：缩小范围，约束性越强，价值越高 同时保证：因为“必要”性，缩小但又不会漏掉答案
2. 充分条件 答案不增加 确保满足条件，检验答案，不让似是而非的答案混进来 其中第一步是难点

• 比如整除手段，需要以下工作
  1. 约束表达，比如 $a=\frac{6+b}{b-1}$ ——并非所有题目够给出明显的约束，这一步也未必很简单 ——比如 〚CMO-2024.3〛☆☆👍
  2. 同余分解，比如 $a=\frac{6+b}{b-1}=1+\frac{7}{b-1}$ ——相当于 假分数→带分数，参考 ※ 分式分解
  3. 整除分析，比如 “b-1是7的所有约数”，比如“m+3是4的倍数”等 ——至此，方找到“必要条件”
• 另一个手段是 📝因式分解、质因数分解

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附注

👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-03-09 15:31