〚CMO-2024.3〛☆☆👍

题目

A positive integer N<2024 is divisible by 39 times the sum of its digits. Find all possibilities for N. 正整数N<2024，且可以被N的各位数字之和的39倍整除，求N所有可能值。 ——关联：CMO、数学表达、信息迭代、整除、不定方程的整数解、〚CMO-2024.3〛☆☆👍

解答

解析1

$\frac{\overline{abcd}}{39(a+b+c+d)}$

关于 数学表达

解题中，使用 $\overline{abcd}$ 和 $1000a+100b+10c+d$ 哪个更好？

• 一般说，后者更有利于解析处理，可以加减乘除，是好的数学表达。在很多题目中，都是选用后者进行分析。比如2025年CMO第5题，就是如此 （〚CMO-2025.5〛）
• 但此题中，使用了前者。前者更格式化，但没有体现abcd内在计算逻辑的表达方式。原因是：基于对题目的整体分析，一个一个求出来a、b、c、d并非预期的解题思路；而分析“这个数”的整体性质，是分析重点。
• 一个补充，如果当前思路没有有效进展，寄希望于通过个十百千位的细致分析找到进一步线索，此时，则需要立刻转为$1000a+100b+10c+d$ 这种表达形式 数学表达，也并非死板的机制。 如果不关注某个逻辑，则整体的表达，更有利于集中精力。

所谓 数学表达

Transclude of 数学表达#是什么

解析2

关于 信息迭代

解题过程中最关键的逻辑推理是：

1. 根据条件$\overline{abcd}$ 是$3(a+b+c+d)$的倍数，可得 $\overline{abcd}$ 是3的倍数
2. 从而，$a+b+c+d$ 也是3的倍数
3. 再代入 $\overline{abcd}$ 是$3(a+b+c+d)$的倍数，故， $\overline{abcd}$是9的倍数
4. 从而，$a+b+c+d$ 也是9的倍数
5. 再代入 $\overline{abcd}$ 是$3(a+b+c+d)$的倍数，故， $\overline{abcd}$是27的倍数 这里同一个推理，重复使用2次，每次都代入新的信息。从而得到有效的解题信息，即： $\overline{abcd}$是27的倍数

所谓 信息迭代

是什么

题目中的信息（约束），随着分析的开展不断产生推论；这些推论又回头加入到已知信息中，进一步产生更多的推论。 特别的，新信息的糅合并非常见的往前推理，而是体现为相同逻辑结构反复，或者两个分支的交叉，给人迭代的感觉。

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解析3

整除知识的应用

整除判断法则，是解题的知识基础 数学能力的2个支柱，其一，对基础知识的扎实掌握，关键是底层逻辑；其二，是数学的思维方式，包括解题和学习的认知、方式、习惯。

关于 整除

Transclude of 整除#是什么

解析4

整体 不定方程解题思想

1. 找到13×27这个约束，大大缩小了可选范围
2. 针对所有可能解，需要检验是否是“39×(a+b+c+d)”的倍数 这里，有个细节：仅需要检查 （a+b+c+d）这个数里面除9之外的因数”即可

关于 不定方程的整数解

是什么

一个问题有多个可能解，一个方程有多个变化的量 常见情况：数论问题 求整数解、竞赛类型应用题 常用方法：整除 分析、📝因式分解 难点：表达出要分析的内容，即构建抽象的数学题，然后还要完成分析 整体思想：必要与充分 必要条件限制范围、充分条件验证答案

※ 规则化公式化 - 不定问题解题思想

两大步

1. 必要条件 答案不减少 首先实现价值：缩小范围，约束性越强，价值越高 同时保证：因为“必要”性，缩小但又不会漏掉答案
2. 充分条件 答案不增加 确保满足条件，检验答案，不让似是而非的答案混进来 其中第一步是难点

• 比如整除手段，需要以下工作
  1. 约束表达，比如 $a=\frac{6+b}{b-1}$ ——并非所有题目够给出明显的约束，这一步也未必很简单 ——比如 〚CMO-2024.3〛☆☆👍
  2. 同余分解，比如 $a=\frac{6+b}{b-1}=1+\frac{7}{b-1}$ ——相当于 假分数→带分数，参考 ※ 分式分解
  3. 整除分析，比如 “b-1是7的所有约数”，比如“m+3是4的倍数”等 ——至此，方找到“必要条件”
• 另一个手段是 📝因式分解、质因数分解

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附注

👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-03-09 15:38