〚260918〛未完成

题目

已知 $2x^2+3y^2=6$，求 $5x+7y$ 的最大值

导引

解答

这是常见的高中最值问题 一道题，多个方法 并非，做这题需要这么多方法 而是，学习中一题多解能更高效的学到多个方法

👉柯西不等式

$(3x+4y{)}^2=(\sqrt{2}x\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}y\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}{)}^2\le ((\sqrt{2}x{)}^2+(\sqrt{3}y{)}^2)\cdot ((\frac{3}{\sqrt{2}}{)}^2+(\frac{4}{\sqrt{3}}{)}^2))$ $((\sqrt{2}x{)}^2+(\sqrt{3}y{)}^2)\cdot ((\frac{3}{\sqrt{2}}{)}^2+(\frac{4}{\sqrt{3}}{)}^2))=6\cdot ((\frac{3}{\sqrt{2}}{)}^2+(\frac{4}{\sqrt{3}}{)}^2))=59$ 优点：简洁 缺点：

1. 需要知识储备+深入理解以便用的好；
2. 使用机会比均值不等式少，本身复杂 故“生命期较短”，几年不用易生疏甚至忘记

👉 数形结合

1. 记 $k=3x+4y$ —— 相当于求k的最值
2. $x^2+y^2=1$ 图形是个圆 $y=-\frac{3}{4}x+\frac{k}{4}$
3. 问题划归为 斜率为 $-\frac{3}{4}$ 且与圆相交（切）的所有直线中，截距最大 如图
4. 根据斜率，得：ABC为三边比例3:4:5的直角三角形 AC=半径=1，BC=5/4 即：k/4=5/4；从而：k=5

优点：形象 缺点：需要数形结合能力，需要较好的解析几何能力 学习：很好的学习“数形结合”思想机会；复习巩固解析几何的机会

👉※ 判别式求最值

1. 记 $k=3x+4y$
2. 代入已知等式 $x^2+(\frac{k-3x}{4}{)}^2=1$
3. 问题化归为：以上二次方程有解的最大k值 ——注：有解，即意味着存在x、y满足最值 原方程整理：$16x^2+k^2+9x^2-6kx=16$ 判别式：$\Delta =(6k{)}^2-4\cdot 25\cdot (k^2-16)\ge 0$ 求解：$k^2\le 25$

优点：比较通用 缺点：想到难，理解不易 学习：这是实现了 👉※ 隐含约束的转化表达，难的的学习“约束思维”的机会；

👉均值不等式

$(3x+4y{)}^2=9x^2+16y^2+24xy$ $=9x^2+16y^2+2\cdot 4x\cdot 3y$ $\le 9x^2+16y^2+(4x{)}^2+(3y{)}^2$ $=25$ 得解

优点：简洁 缺点：对均值不等式的理解和灵活应用要求高

👉对偶思想

1. 记：$m=3x+4y,n=4x-3y$
2. $m^2+n^2=25x^2+25y^2=25$
3. $n^2最小=0，m^2最大=25$

优点：有趣 缺点：需要对偶思想，需要构造能力

注：对偶解法、均值不等式方法，有相通之处

几个方法比较

方法	过程	知识要求	思维要求	注
均值不等式	☆	☆	☆☆	初中知识、过程简洁、容易掌握
柯西不等式	☆	☆☆☆	☆☆	高中（偏拓展）知识
数形结合	☆☆☆☆	☆☆	☆☆☆	过程较复杂，数学思想要求略高
判别式法	☆☆☆☆	☆☆	☆☆☆☆	过程略复杂，约束思想要求高，难原生想到
对偶思想	☆☆	☆	☆☆☆☆	对偶思想要高中虚数之后才有机会建立
换元法	☆☆☆	☆☆☆☆	☆☆☆	利用三角函数两个性质，很好的交叉学习
向量法	☆☆	☆☆☆☆☆	☆☆☆	过于交叉高等知识

写在最后，👉※ 蹩脚的方法

一道题的多个解法 从客观角度，从个人熟悉和习惯的角度，有的舒服，有的别扭 但别扭，只是此时此地的应用感觉 不是方法本身 当前别扭的方法，学会了，在其他题目上就是蜜糖

只管学习，各自精彩

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

$x^2+y^2=1$ 求 $3x+4y$ 最大值