〚260925〛

题目

设 $a\in R$，若 $x>0$ 时，总有 $((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0$，求a

导引

解答

方法1，基于含义，原生分析

1. 原问题含义： $x>0\Rightarrow ((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0$ $x|x>0\subseteq x|((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0$ $x>0$ 是 $((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0$ 的充分条件 $x>0$ 的范围，比 $((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0$ 的解的范围小
2. a=1时，不等式变为 $-(x^2-x-1)\ge 0$ 显然无法成立
3. a<1时，不等式变为 $(x-\frac{1}{a-1})(x-\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2})(x-\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2})\le 0$
4. 若3个零值点$\frac{1}{a-1}、\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}、\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}$ 各不相同 其解集为 $x\le x_{1}OR{x}_2\le x\le x_3$， 不可能包含 $x>0$，无法成立
5. 若3个零值点$\frac{1}{a-1}、\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}、\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}$ 有一对相等， 其解集为 $x\le x_1$（$x_1$是不相等的那一个）， 此时也不可能包含 $x>0$，无法成立
6. a>1时，不等式变为 $(x-\frac{1}{a-1})(x-\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2})(x-\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2})\ge 0$
7. 若3个零值点$\frac{1}{a-1}、\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}、\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}$ 各不相同 其解集为 $x_1\le x\le x_{2}ORx\ge x_3$， 考虑到$\frac{1}{a-1}\ge 0、\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}\ge 0$ 不可能包含 $x>0$，无法成立
8. 若3个零值点$\frac{1}{a-1}、\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}、\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}$ 有一对相等 只能 $\frac{1}{a-1}=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$ 此时 $x\ge \frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}，\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}<0$ 包含 $x>0$ 满足条件
9. 解方程 $\frac{1}{a-1}=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$，得 $x=\frac{3}{2}$

注：最后一步求a，有个简单一点的方法

• 当 $\frac{1}{a-1}=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$ 意味着 $\frac{1}{a-1}$ 满足二次方程
• 即：$x^2-ax-1=(\frac{1}{a-1}{)}^2-a\cdot \frac{1}{a-1}-1=0$
• 此方程易解

方法2，把 $x>0$ 作为主动条件

1. 解一个关于“a”的不等式组 $\{\begin{array}{l}x>0\\ ((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0\end{array}$
2. a=1时，无法成立
3. a<1时，同时考虑$x>0$， 必然有，$(a-1)x-1<0$；故有，$x^2-ax-1\le 0$， 不存在a让这个不等式（恒）成立 —— （$x>0$意义下的恒） 此时也不可能包含 $x>0$，无法成立
4. a>1时，同时考虑$x>0$ 不等式变为 $(x-\frac{1}{a-1})(x-\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2})(x-\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2})\ge 0$ 显然 $(x-\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2})>0$ 故 $(x-\frac{1}{a-1})(x-\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2})\ge 0$ 对所有 $x>0$ 成立 要么，$x_1\le 0，x_2\le 0$，显然不成里 要么，$x_1=x_2$，即 $\frac{1}{a-1}=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$
5. 后续求解，同上

👉※ 被动约束与主动约束 第2个方法简单一些的原因？

两个解法雷同之处，都需要对a-1的符号进行分类讨论

但第2个方法更快，其根本原因在于

方法1，把“x>0”仅仅用作验证，在不等式 $((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0$几乎完成求解后才参与进来——去验证a带来的解集是否符号条件

方法2，把 “x>0”主动用于分析，分析什么样的a能让不等式 $((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0$ 在“x>0”的约束下恒成立。

方法1，是找a，让不等式解集覆盖“x>0”，需要完整求解不等式，然后验证解是否符合条件，然后取舍a。

方法2，也是找a，但不是解不等式，而是在 “x>0”的帮助下去分析a如何让不等式恒成立。

不同点有2个：

1. “x>0”的使用方式不同，一个被动使用，一个主动使用
2. 解题逻辑有差异 一个是求解、分析解、然后回头取舍。这很像枚举，把所有情况都过一遍。 一个是直接找满足条件的a，这个分析前置于解不等式之前。

这两个不同之处中，对于“x>0”的使用是关键区别，然后导致后续的分析逻辑的不同。

可见把条件作为“主动条件”，主动参与分析，是更高效的选择。

解析

若 $x>0$ ， 总有 $((a-1)x-1)(x^2-ax-1)\ge 0$， 求 a ？

附注

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