〚导学先锋1-1.1.4-8〛📋

题目

若集合 $M=\{y\mid y=\sqrt{x}-2,x⩾0\}$ $N=\{x\mid y=\sqrt{-2x+8}\}$ ，则求 $M\cap N$

解答

1. $M=\{y\mid y=\sqrt{x}-2,x⩾0\}=[-2,+\infty )$
2. $N=\{x\mid y=\sqrt{-2x+8}\}=(-\infty ,4]$
3. 故：$M\cap N=[-2,+\infty )\cap (-\infty ,4]=[-2,4]$

解析

👉※ 原生思考

这是这道题第1个可能的坎。 这里计算集合交集，并没有固定的策略、方法去完成“交集计算”，这和我们熟悉的加减乘除不同，后者有清晰明确的计算方法。 那么，如何完成交集？首先明白两个集合的真实包含什么，需要一点点的原生思考——即：借助基础知识积累、思维能力积累，但并不知道明确借助什么，仅仅凭借去“弄明白”的最终目的指引，去完成分析。或许中间借助了某些知识、手段，但起步是没有任何想法没有任何条条框框，一切都是原始思考的结果。 比如，$M=\{y\mid y=\sqrt{x}-2,x⩾0\}$，分析出来 $M=[-2,+\infty )$，这个分析并没有固定套路，全凭我们对算术平方根的理解。 再如，$N=\{x\mid y=\sqrt{-2x+8}\}$，分析出来 $N=(-\infty ,4]$，这个分析基于另一个知识点，根号下的数不能小于零，没有固定套路，临场应变，看到什么分析什么。 这些，体现为原生思考

👉※集合问题中变量的作用范围

这是这道题第2个可能的坎。 一般说，同一道题中，同一个字母是同一个变量。 但集合问题中，是个例外。 本题中，

1. $M=\{y\mid y=\sqrt{x}-2,x⩾0\}$
2. $N=\{x\mid y=\sqrt{-2x+8}\}$ 集合M中的y和N中的y没有任何关系，同理，两个集合中的x也没有任何关系。 M中的y，仅仅是个占位符，比如写成 $M=\{❤\mid ❤=\sqrt{x}-2,x⩾0\}$，并不影响集合M；再比如写成 $M=\{❤\mid ❤=\sqrt{a}-2,a⩾0\}$，M还是那个M。 既然M中的x、y都可以改变，并不影响题目含义，那么M中的x和其他的x也就不可能有什么关联。 初学集合，容易有这点困惑。

👉草图原则

又 我们在做几何题中，会提一个“古怪”的要求：不要写点的名字，不要写大写字母（具体 👉草图原则）。 为什么要这样做呢？ ——因为用端点的大写字母表示线段、角度，都效率很低；且，影响图形的简洁清晰。 那，为什么可以这么做呢？ ——即便点的名字效率低、即便影响简洁，但如果它有价值，乃至不可或缺的价值，那还是不能省略呀。 ——只可惜，这些点的名字，这些大写字母，对于我们的思考，并非必须，完全可以不要。 ——因为：这些字母，就是个占位符 ——比如：把题目中的A，改成没有使用的某个字母比如V，那么题目的含义、解题过程，完全没有影响。字母换一个，题目就变了吗？没有；字母换一下，解题的难度有变化吗？没有；解题的思路、过程有变化吗？没有。 ——这与集合描述里的字母的价值，如出一辙，一个逻辑。 ————是为：※底层逻辑同构

附注

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$M=\{y\mid y=\sqrt{x}-2,x⩾0\}$ $N=\{x\mid y=\sqrt{-2x+8}\}$ 求 $M\cap N$