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〚260726〛不等式整数解🏅

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题目

不等式 有1个整数解，求k的范围

解答

解题准备：解含参不等式

  1. 十字相乘、因式分解
  2. 方程的解：
  3. 解集： ——当 时，即 时，不等式解集： ——当 时，即 时，不等式解集： ——当 时，即 时，不等式解集：

分析：接下来关键，约束条件→数学表达→求解范围（👉数学表达）

这题的约束条件，就一句：“含有1个整数解” 这句话，内容很数学，表达很语文 需要仔细的用数学方式把约束条件表达出来，从而进一步用于求解 实际上，这便是解题的核心，把约束用好，解题的最重要、最难、最核心的事情。

约束的表达与分析

针对第一种情况， 时，不等式解集：

  1. 针对a的分类限制， 补充检验：当 ，，无解 无正整数解。OK，符合预期。
  2. 必要条件：，得到第2个限制： 怎么想到的这个？为什么要这么想？想不到怎么办？——参考补充分析 补充检验： ——当 时，，只有一个整数解。OK，符合预期。 ——当 时，，有两个或两个以上整数解。 ————OK，符合预期
  3. 增加条件缩小范围，第3个限制： 考虑 时，，需要 有整数解，即：
  4. 增加条件缩小范围，第4个限制： 考虑整数点情况， 时，，无整数解，故
  5. 综合以上，（局部的）充要条件：

正对第二种情况，a<5，同理可得：

最后答案：

求解思路分析

  1. 第1个疑问：解题这么复杂吗？ 数学题目的求解，本质来自于“清晰、严谨”的思考；如果有过“很多题目求解简单”的感觉，是因为是在依赖于固定的套路去解题。那个得到套路的困难过程被有意无意省略了。但并非所有问题都有固定套路，或者问题分类很细，应对它们需要太多套路，多到学习套路未必划算。此时，原生思考，成为兜底的方案。 原生思考，就显得麻烦。这就是感觉解题复杂的原因。

  2. 关于解题中的必要条件 对这类题经验不足的学生，容易困惑于：怎么才能想到？我想不到怎么办？为什么这么想？ 如果对此有兴趣，看下面详细阐述；否则，你会嫌弃啰嗦，请跳过。 三个问题，答案一样：基于最原始的逻辑去思考，自然走到这一步。 首先，我们需要把a控制在“不多不少”的范围内。 ，不等式有个解集，显然，这只是存在“唯一整数解”的必要条件。 这个范围太广了，这个范围里面有很多a是不满足要求的，要把它们找出来，踢出去。 这是最基础、原始的欲望。 其次，我们努力的去剔除不符合条件的a？ 朴素的方法是：a=100可以吗？不可以，踢出去；a=12可以吗？不可以，踢出去；… 这个方法很好，在走投无路时，这个方法非常有效的指引你找到解题逻辑； 这个方法最大不足，仅仅是离不开逻辑作为补充。 在朴素方法之上，很快就能发现：a和2a-5的差不能超过2，否则就有两个以上整数被涵盖。 然后，就有了 这个限制条件 思路就是这么原始，数学学明白了，就发现也没有什么高级的。 最后，如果我还是想不到，怎么办？ 这是很负责任的一个担心。当没有这个思维，当没有这个心态的时候，就走不到 这一步。那走不到这一步，是不是就完蛋了？不会。只要你还记得 需要把a控制在“不多不少”的范围内 这件事，你终将走到这一步，仅仅是绕个圈子、走的慢一点的区别。因为这个目标本身，就意味着有个兜底的逻辑：你要清晰的验证，范围内的都OK，范围外的都不OK。当你的答案不对的时候，你肯定可以知道不对，如此，只要有意愿，终归走向正确答案。

  3. 关于 ，又是怎么想到的？

  4. 关于 ，又是怎么想到的？

  5. 以上条件，足够了吗？（这是高一的题目，用高中的黑话来说，就是“充要”了吗？） 因此，我们不仅要考虑条件是否足够，多少条件下的a每一个都满足； 还要考虑，是否周围有一些a被误杀。 无论是充分性，即条件限制内的a，每一个都OK； 还是必要性，即，所有满足条件a，都在这个范围内； 这两个问题，解决方案一致：理论上，需要严谨的证明。

  6. 以上解题，太复杂，考试中怎么办？ 其一，真正的数学问题，不可以给120分钟的限制 其二，120分钟的考试，需要对题目事前做好“套路”准备 其三，为了应对可能的变化，所有的“套路”都需要“理解”，而不能生搬硬套。 其四，产生“套路”的过程，是数学的精华，是真实能力，让解题无往不利，让新的学习高效深入；

    注：如何判断在必要条件的基础上，增加了不多不少的条件，达到充要条件？ ——没有明确的套路规则； ——但有一个清晰的思想：范围内的都可以，范围外的都不可以 ——至于如何具体判断，是独立的问题，需要逻辑严谨的去证明 ————现实中没有这些证明，是因为把这些证明有意无意的省略了，以“大概没问题提”的心态去直接利用。可能用的好，也可能用不好。

  7. 第2种情况

附注

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