〚一课一练7B.13.29〛信息代入是求值的核心☆☆💯

题目

已知 abc=1，求 $\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}$ 的值 ——关联：分式、知识/初中/代数/多项式/求值问题/求值问题 ——①求值核心：信息代入，典型例题 ——链接：〚一课一练7B.13.29〛信息代入是求值的核心☆☆💯

创建时间： 2026-01-10 22:23

解答

看起来有点吓人 其实，题目难度与“已知x=3，求$x^2+2x+5$的值”难度一样 ——只要简单代入，即可

直接代入——无脑、且简洁

1. 简单做代入准备 $a=\frac{1}{bc}$
2. 将$a=\frac{1}{bc}$代入目标算式 $\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}$ $=\frac{\frac{1}{bc}}{\frac{1}{bc}b+\frac{1}{bc}+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{c\frac{1}{bc}+c+1}$ $=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+c}+\frac{bc}{bc+b+1}$ $=\frac{bc+b+1}{bc+b+1}$ $=1$ 得解

补充说明

1. 为什么我们害怕此题？ 因为过于迷信“解题技巧”的能力，过于认可“解题技巧”的江湖地位 复杂问题离开技巧，便手足无措 对自己的分析能力不自行 对朴素思维的力量不相信
2. 为什么“直接带入”效果好？ 其一，直接代入，是代数式求值问的基础，和绕不开的核心 即便我们有复杂的转化，归根结底，最后还是要回到“代入”上来 既如此，如果能直接代入，何必舍近求远 对“代入”的价值认知不足，就是害怕此题的一个原因所在。 ——否则，怕啥，代入谁不会呢
3. 这里的代入，从理论上看“必然成功” 因为：这个代入，完成了消元，这是abc=1的“等价价值”的体现 如果此时，没有常数结果，则意味着结果随bc的变化而变化 ——那么，任何一个其他解法，也不可能得到更好的常数结果

补充，另外的解法，仅作参考 注：

1. 以上，失败的方法2带来一个有益的提示：三个分母可以相互转化
2. 方法3，通过分母转化，实现通分
3. 直接代入“1=abc”是大胆的升维操作，表面把问题变复杂。可见：信息代入，比简化的优先级还高一些。代入的意义，可见一斑。

补充，资料上的参考答案 这个方法，思维方式晦涩，不怎么推荐 和很多参考答案一样，只是个好的解题形式，是加工过后的过程

附注

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