〚新思维9.10.18〛☆☆☆💯

题目

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0<t<2)，连接PQ (1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值 (2)连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值 (3)证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上 ——关联：三角相似、※左右问题、解析方法、隐含约束、中位线、※ 数值问题-隐含的必要特征 ——①相似性质：不要利用勾股定理，利用边的比例（内部比） ——②左右问题：逻辑严谨，注意每个细节都不贸然下结论，会发现2种情况 ——③解析方法：很好的第二方法，且有自己的明显严谨优势 ——④解析约束：垂直，解读为斜率负倒数；这个理解，对于建立几何约束（相似直角三角形）亦有帮助 ——⑤隐含信息、数值问题：关于速度的隐含信息，对建立解题思想，以及结果过程，作用巨大 ——链接：中考题 武汉 〚新思维9.10.18〛☆☆☆💯

解答，第（1）问

相似→BP、BQ对应成比例→ $BP:BQ=4:5orBP:BQ=5:4$，即：

1. $(5t):(8-4t)=4:5$，解得：$t=\frac{32}{41}$
2. $(5t):(8-4t)=5:4$，解得：$t=1$

解答，第（2）问 - 相似法

过P作垂线PX⊥AC，$△AXC\sim △ACQ$ 根据直角边成比例，得

• $PX:XC=AC:CQ$
• 即 $[(10-5t)\times \frac{4}{5}]:(5t\times \frac{3}{5})=6:(4t)$，
• 解得 $t=\frac{7}{8}$

另，满足如下条件，两个三角形相似，但是并不垂直

• $PX:XC=CQ:AC，[(10-5t)\times \frac{4}{5}]:(5t\times \frac{3}{5})=(4t):6$，解得 $t=\sqrt{5}-1$

但 7/8 并不是严谨的答案

解答，第（2）问 - 解析法

这个方法，有个明显的优点：能把“t=0”找出来 ——虽然，此题要求t>0；但，万一没这个要求呢 ——使用纯几何的方法，逻辑上没有这么严谨

第（3）问

注：4t=4t，隐含信息，起到重要的作用

解答，参考答案

附注

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