〚新思路8上-16.3(2)-9〛根式估算☆☆🏅

题目

求比 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6$ 大的最小整数 ——关联： ※ 根式计算、对偶思想、计算能力、多项式乘法、简化链接、心理建设·探索-推进、※算两次、※ 一题多解、同构思想 ——类似：〚市北15.5-1.2〛 ——链接： 〚新思路8上-16.3(2)-9〛根式估算☆☆🏅

解答 - 方法1，对偶表达式提供信息

1. 基础的计算分析 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6=(11+2\sqrt{30}{)}^3=11^3+3\times 11\times 4\times 30+k\sqrt{30}$ $=5291+k\sqrt{30}=m+n（注：m是已知整数，只需对n做估算即可）$
2. 分析另一个对偶的式子
   $(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6=(11-2\sqrt{30}{)}^3=m-n（注：需对展开的符号有较好理解）$ 考虑到 $\sqrt{6}-\sqrt{5}<1$ 故$(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6<1$， 故 $m-n<1$ 故 $n=5290.abcd$
3. 综上 $❀=(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6=m+n=5291+5290.abcd=10581.abcd$ 故：求比 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6$ 大的最小整数是 10582

注：以上方法中的数学能力

1. 计算能力 多项式乘法 对 $(x+y{)}^6$ 展开应熟练，不能有计算压力
2. 多项式乘法 对 $(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6=(11-2\sqrt{30}{)}^3$ 符号的判断，是多项式展开能力的体现
3. 对偶思想 对 $(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ 的分析，是解题关键 这里$\sqrt{6}-\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{6}+\sqrt{5}$ 息息相关，两者相互组合又有明确的关系
4. 简化链接 将复杂的A，与简单的B，产生更简单的链接关系C，从而有助于A的解决。这是这道题核心的解题思想

解答 - 方法2，通过分析相互关系

1. 构造分析 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6+(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6+(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ $=(11+2\sqrt{30}{)}^3+(11-2\sqrt{30}{)}^3$ $=(22)((11+2\sqrt{30}{)}^2-(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})+(11-2\sqrt{30}{)}^2)$ $=(22)(11^2+4\times 30-11^2+4\times 30+121+4\times 30)$ $=22\times (120+120+120+121)=22\times 481=9620+962=10582$
2. 另： $0<(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6<1$
3. 综上，比 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6$ 大的最小整数是 10582

注：

1. 以上方法，计算部分雷同 ——这里使用“完全平方+立方和”计算 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6+(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ ——也可以按方法1中，直接展开，正负相消的方式计算 ——$(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6+(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6=5291+k\sqrt{30}+5291-k\sqrt{30}=10582$
2. 方法2和方法1，在思路上有相似之处 ——都是借助 对偶表达式 $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ 进行分析
3. 方法2和方法1，不同之处 ——方法1，通过对偶表达式自身的结论，帮助分析目标表达式 ——方法2，将两个表达式综合，通过相互关系实现对目标表达式的分析

解答 - 方法3，另一个相互关系的分析

1. 构造分析 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6=[(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5}){]}^6=1^6=1$ $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6=(a+b\sqrt{30})(a-b\sqrt{30})=a^2-30b^2=1$
2. 分析 $b\sqrt{30}$ 首先，$30b^2=a^2-1$ 其次，$(a-1{)}^2<a^2-1<a^2$ 故：$a-1<b\sqrt{30}<a$
3. 综合 $2a-1<a+b\sqrt{30}<2a$ 即： $2a-1<(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6<2a$
4. 由 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6=5291+b\sqrt{30}$ 得 a=5291，2a=10582，得解

注：

1. 解题思路，与方法2雷同 ——方法2，分析 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6+(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ ——方法3，分析 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$
2. 具体分析过程，方法3更“难”一点，方法2更简单直接一点
3. 通过方法2、方法3，我们有对解题思路的进一步理解 —— $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6$ 是我们的目标，相对而言，难以分析 ——$(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ 是与目标紧密相关的对象，相对而言，容易得到信息 ————比如，$(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ 比0大比1小，是一个“纯小数”即“0.##” ——两者之间，有清晰的关系，比如“和”比如“积” ——即：我们需要了解A，我们找到了容易了解的B，它们的和或积是容易了解的C；从而通过B、C得到了关于A的信息 ——这个思路，与“不规则图形的面积问题”相似 ————即：将“不规则图形A”转为“规则图形B、C的加减组合” ————或：在“不规则的A”和“规则的B、C”之间建立有效的关系
4. 我们对问题的求解，是学习的起步 我们对求解过程的分析，是学习的关键所在

能学到什么？

计算能力 > 复杂计算心理

• 数学题，并非逻辑的阳春白雪，必不可少的计算也是其一部分
• 对于有难度的题目，略复杂的计算是一般要求，总归还不会是最难的部分；

心理建设·探索-推进

• 这道题，非常见题目
  • ——但凡不常见，就会有点难
  • ——可见，我们的数学能力，怎么说呢，值得我们谦虚
  • 我们常以为的自己的能力，比葫芦画瓢还是占了大多数；但凡有点新意，便是一次挑战
• 不常见，便没有清晰的思路，能做的便是：探索-推进
• 因此，将$(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6$展开乘出来，或是解题的起步
  • ——最初，并确定有什么用
  • ——但，除此之外，能有多少好做的呢

※ 根式计算 > 幂结构不变

$(11+2\sqrt{30}{)}^3=5291+b\sqrt{30}$ 这是根式重要的属性

※算两次

※ 根式计算 > 不同 分析路径 带来的价值 方法3，针对 $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$ 的不同处理，是一个有趣的地方 相当于 ※算两次 思想的应用

简化链接

通过方法3、方法2的比较，能看到 简化链接 的底层价值 将 复杂与简单 联系起来；将不规则与规则联系起来

※ 一题多解 多方法的底层逻辑价值

——通过方法2、方法3，看到相通之处 ——通过方法1、2、3，也看到相通之处 ——不同之间的相通，就是它们下面更底层的东西 ——相通之处，有更高的抽象高度，作为学习的角度更有效率，用来理解问题更有深度

隐含约束 > 自约束

$(\sqrt{6}-\sqrt{5})$所具有的特性，可视为 $(\sqrt{6}+\sqrt{5})$的隐含约束

对偶思想

通过方法1、2、3，能看到 对偶思想 的价值 三个方法，都没有离开 $(\sqrt{6}-\sqrt{5})$ 这个相关表达式 对偶-隐含信息的特殊体现

※ 数值问题-隐含的必要特征 > 发现利用数值特征

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})=1$ 是解题的基础 我们需要这个知识积累，且有意识的利用这个数值上的特征

同构思想 的体现

1. 思维方式上的同构 方法2方法3的思维方式、不规则面积的处理方式，两者之间有思维方式上相通之处。这类分析，是很好的思维练习。
2. 底层逻辑上的同构 方法1、2、3，都涉及的对偶表达式，其含有自约束属性 这一点，与循环小数，在逻辑上是同构的 对偶算式，可以看作自带的隐含信息 隐含约束 类似于 循环小数，自带约束方程 ——即 0.353535=(35+ 0.353535…)÷100

附：解题过程

• 不成功的尝试
  • 
• 换一张草稿纸重新解
  • 

附：参考答案

• 
• 特别想知道，这个解题方法的思路来源
• ——只一个答案，无甚益处