〚培优教程8-5.2-14〛✶✶✶

题目

已知 $x,y,z$ 为有理数，且 $(y-z{)}^2+(z-x{)}^2+(x-y{)}^2=$ $(y+z-2x{)}^2+(x+z-2y{)}^2+(x+y-2z{)}^2$, 求 $\frac{(yz+1)(zx+1)(xy+1)}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}$ 的值 ——关联：代数式-整式、代数思想、特征思想 ——略难，考验综合能力的一道题 ——①学会分析信息、使用信息；②学会判断好的解题路径 ——链接：〚培优教程8-5.2-14〛✶✶✶

解答

注：这是一个计算量很大的整理 大部分学生可能没有信心做下去

解答

定义：a=x-y b=y-z c=z-x 故有：a+b+c=0 这是特别容易忽视的信息

分析已知： $a^2+b^2+c^2=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$ 易得：$a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc=0$

根据 $a+b+c=0$ 可得 $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0$

从而 $ab+bc+ca=0$ $a^2+b^2+c^2=0$

从而：a=b=c=0 即：x=y=z 故：答案=1

附注

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