〚范例多解.下.6-e3〛反推重心⭐⭐⭐

题目

已知如图，AE、CD、BF三线共点，①、②、③面积相等；证明，G是重心 归属：对称思想、中点中线、逆命题、超越方程、※ 面积传递信息（面积法）、比例分割 备注：2005第18届爱尔兰数学奥赛

解答（1）

证明：

1. 不妨，①、②、③面积=m；其余三角形面积a、b、c
2. 易得 $（1）\frac{a}{m}=\frac{b+m}{c+m}；（2）\frac{b}{m}=\frac{c+m}{a+m}；（3）\frac{c}{m}=\frac{a+m}{b+m}$
3. 不妨：$a\le b\le c$；则有：$\frac{a}{m}=\frac{b+m}{c+m}\le 1；a\le m；同理：b\ge m；c\le m$
4. 故：只能 a=b=c=m；得证；

解答（2）

直接推理出 a=b=c=m，需要一点工作

附注