〚导引4.4A.1〛均分正方形 - 基础能力训练☆☆☆🏅

创建： 2026-01-07 09:22 修改： 2026-01-07 09:22

题目

将一个正方形纸片剪成大小、形状都相同的4块，有多少种方法？（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的大小、形状是相同的） ——关联：图形切割 ——看似简单，做好不易 ——至少10种以上方法，试试看 ——链接：〚导引4.4A.1〛均分正方形 - 基础能力训练☆☆☆🏅

解答

方法1-4，最容易想到 方法5-6，略难想到 方法7-8，更难想到 如何思考？

1. 【单步思维】正方形长方形，如何切分成 2 个相等的图形先？
2. 【特征简化】三角形，如何切分成 2 个相等的图形无 非 数 学
3. 【特征简化】梯形，如何切分成 2 个相等的图形？
4. 【完备性】不规则图形，如何？
5. 【逆向】两个相等的图形，可以组成什么样的图形？
6. 【解析】面积的 1/4 如何表示 方法9-11，基于分块 方法12-13，更一般方法，基于对称点 最后，方法记不住，思想不明白，但请至少记住：常规之外的如下第3个方法

分法背后的逻辑思路

1. 最初的想法 来自于经验、常识 这个数学不是太关心 有了方法后，进一步寻求方法背后的道理——这更是数学的一部分
2. 第一个思考：直线还是斜线 这个图形，画出的第一笔，是斜线？还是横的直线？ ——答案：横的直线 进一步理解，即： ——先用横的直线分成2部分； ——再用斜线分成4部分
3. 第2个思考： 针对这个分法，我们又是如何实现的？从上而下，1、2、3，画3条线吗？ 考虑最常见的线段图——即：用于辅助解类似和差倍问题的“线段图”——如何表达倍数。比如，a=6b，将长线段分成6份： ——1) 朴素的、从左往右；这样做，常常最后一两格短了点或长了点 ——2) 略加改进，先，从中分成2份；再，左右各分3份 比如，a=8b ——1) 朴素的、从左往右；这样做，常常最后一两格短了点或长了点 ——2) 略加改进，先，从中分成2份；再，左右各分2份；再，每一份分2份 再比如9份——可以分3份，再各3份 再比如7份——呃？（可以分8份，去掉一份——此处体现“化归”） 至此，我们看到了 “一分二，二分四”的价值
4. “一分二，二分四”思想 常规方法 中心对称 ——以上方法，得到左右对称的2个图形 ——那么，中心对称，不也可以？ ——也可以 这里PP’，有两种限定描述： ——i. 满足：AP=BP’ ——ii. 满足：PP’ 经过O点——这个条件更简洁
5. 插一个【小结论】 经过正方形中心的任意直线，平分正方形
6. 方法扩展 以上结论中：“经过中心”，是核心； 以上结论中，“直线”，是偷懒的结果 ——因此，如下，非直线，也完成了平分的任务 这里的折线，按如下方式定义——相应点关于O对称存在 进一步，画出对称的曲线，也可以
7. 改进的【小结论】” 经过正方形中心的对称线——直线、对称折线、对称曲线——平分正方形

附注

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