〚高思课本.4A.23.e4〛乘积最大

题目

解答

最大=631×542

解析

• 属于：最值·一般问题 > 一般最值问题
• 常犯错误 最高位，一般正确；次高位、低位，常常出错
  • 这个问题，根本原因是：逻辑严谨性 不足
• 不足之处，在”规则化“、”一般化“上，思考都较少
  • 参考 2024.06.27 林垚轩课堂
    • 
• ※ 结构化
  • ——即：思考如果8个数字，10个数字，怎么办？
  • ——如果7个数字，9个数字，怎么办？
• 4位×4位——最大=①④⑥⑧×②③⑤⑦
• 3位×5位 ——最大=①④⑥×②③⑤⑦⑧
  • 第①大的数
    • 无论出现在哪个数中，都是最高位，更大一些
    • 相比三位和五位两个数，①出现在三位中更有利
    • 故：最大=①##×#
  • 第②大的数
    • 同理，出现在剩余位置中的最高位；
    • ①A#×B#，A和B如何选择？
    • ——思路
      • B变小了d，影响：#×d#，3+5=8
      • A变小了d，影响：d#×#，2+5=7
      • B的影响更大
    • 故：最大=①##×②#
  • 继续
    • ①##×②d#；影响是：①##×d#
    • ①d#×②#；影响是：d#×②#
    • 通过最高位比较，①##×d#>d#×②#
    • 故：最大=①##×②③#
  • 依次，得到
    • ①##×②③d##；影响是：①##×d##，3+3=6
    • ①d#×②③#；影响是：d#×②#，2+5=7
    • 7>6，故：最大=①④#×②③#
  • 依次，得到
    • ①④#×②③d##；影响是：①④#×d##，3+3=6
    • ①④d×②③#；影响是：d×②③#，1+5=6
    • 比较最高位，故：最大=①④#×②③⑤##
  • 依次，得
    • 最大=①④⑥×②③⑤##
    • 最大=①④⑥×②③⑤⑦⑧
    • ①##×②③#；3+4=7>2+4=6
  • 检验
    • 876×54321=47585196
    • 856×74321=63618776
    • 853×76421=65187113
• 2位×6位 ——最大=①④×②③⑤⑥⑦⑧
  • 最大=①#×#
  • 最大=①#×②#
  • 最大=①#×②③#
  • 最大=①④×②③#
  • 最大=①④×②③⑤⑥⑦⑧
• 1位×7位 ——最大=①×②③④⑤⑥⑦⑧
• 2位×8位 ——最大=①×②③④⑤⑥⑦⑧
  • 最大=①#×#
  • 最大=①#×②#
  • 最大=①④×②③⑤⑥⑦⑧⑨⑩
• ※ 规则化公式化
  • 题目清晰的解题规则是什么？
  • 假设最后结果是：A×B；这里，A的位数<=B的位数
  • 规则：
    • A选最大的，放最高位；
    • B选剩余中最大的，放最高位
    • B选剩余中最大的，放剩余位置中最高位
    • A选剩余中最大的，放剩余位置中最高位
    • B选剩余中最大的，放剩余位置中最高位
    • A选剩余中最大的，放剩余位置中最高位
    • …
• 与 最值·一般问题 > 最值/差大积小 的关系
  • 若 A×B，A与B位数相同，则：
    • A+B最大、A×B最大，同时满足
    • 且 符合”差大积小“原则
  • 若 A×B，A与B位数相同，则：
    • A+B最大，A×B最大，是两个不同的答案