题目
甲乙在300米长的路上往返跑步，甲速度169米/分，乙速度117米/分，两人从某一端同时出发，请问1小时内甲乙见面几次？（同时同地即为见面，不算出发这一次）
——多次往返、环形路线、、、〚260324原〛往返综合（挑战题）☆☆☆☆🙇
解答
- 基础判断 答案=追及次数+ 相遇次数-两端见面次数 注：两端见面，相当于即是追及，也是相遇，会重复计算
- 追及 每追一次时间： 60分钟可以追上几次：
- 相遇 相遇一次时间： 60分钟可以相遇几次：
- 两端次数 时间比： 即： ——第11次相遇与第2次追及，是同一次 ——第22次相遇与第4次追及，是同一次
- 最后答案 见面次数=5+28-2=31
注（关于题目的解析）：
- 关于追及和相遇的重复
第11次相遇时间：600÷286×11
第2次追及时间：600÷52×2
它们相等，是同一个时间点
此时：
——甲路程=169×(600÷52×2)=300×13
——乙路程=117×(600÷52×2)=300×9
——甲乙同时处在同一端
参考如下：
- 如果自然的理解“相遇、追及重复” 如果方向相同，碰面，称之为：追及 如果方向相反，碰面，称之为：相遇 但， 当“甲正好在端点追上乙” ——甲、乙都处在“掉头”的状态，此时两个人没有方向 ——此时，可以称之为相遇、也可以称之为追及、或则都不算 ——这是“名词定义”的事情 ——从计算角度，相遇次数、追及次数，都把这种情况涵盖在内 ——故，需要减去重复次数
- 关于“重复次数”的另一种计算方法 第1个方法，相当于如下翻译 ——相遇时间点=追及时间点 ——找：相遇时间、追及时间的公倍数，即可 第2个方法，如下翻译 ——甲的位置是300的整数倍，乙的位置也是300的整数倍 ——倍数差是偶数（避免甲乙分别在两端的情况） ——169t=300(m+2n)；117t=300m； ——似乎，并不是太好处理
- 何时不会出现重复？ 以下情况，不存在一个时间点，让甲乙同时在端点 ——如果甲乙速度一个无理数、一个有理数 ——如果甲乙速度都是无理数、且速度比值也是无理数 但，此时，甲乙可以在统一位置（位置点是无理数） 如果长度是无理数、2个速度是有理数 ——那么依然可以同时出现在同一个端点 ——此时，时间是无理数 以上道理，相当于 ——两个比值是无理数的数，无法同时通过同一个乘数做有理化
- 一个可能的疑惑 若速度比从3:1转为50:17，两个速度并没有太大变化，追及次数、相遇次数也不会有很大变化，但重复次数变少很多，见面次数变少很多。 (a+b):(a-b)=50:17，a=67×3=201，b=33×3=99 (a+b):(a-b)=3:1，a=66×3=198，b=33×3=99 题目1： ——甲乙两人在长度300米的道路上往返跑步，甲每分钟能跑201米，乙每分钟跑99米，两人从道路的一端同时出发，请问1小时内甲乙会见面几次？（同时处在同一位置即为见面，不算出发时） 题目2： ——甲乙两人在长度300米的道路上往返跑步，甲每分钟能跑198米，乙每分钟跑99米，两人从道路的一端同时出发，请问1小时内甲乙会见面几次？（同时处在同一位置即为见面，不算出发时）
- 数学答案和现实逻辑 以上两题，甲速度从201变为198，乙的速度99不变，但结果变化很大。 这与直觉不相符 其原因是： ——若“追及”发生在临近端点处，那么领先的人折返后，会很快出现一次“相遇”。 如果这个时间足够短，以至于“正好”是端点，那么追及、相遇就合二为一了。 这也解释了，为什么速度是无理数，不会出现“合二为一”的情况。——因为两个不同的无理数，无论怎么一个整数倍，都不会正好相等。
注，为什么本题，能体现一个人的“基础数学能力”
- 有数学潜力的学生，不止于“找到答案”，而是乐于把问题分析明白。这是能想明白“相遇、追及、端点情况”的起点。
- 想明白，除了对“相遇、追及”有扎实的理解，还需要以下基础能力： 一是，比较中的对齐思想，让终点对齐，更容易找到路程差 二是，一般化分析能力，即：无论起点如何，不影响路程差 四是，分析的完备性，能在折返中，找到相遇、追及的异同，发现可能的特殊情况 五是，约束解读能力，能把“即是追及、又是相遇”解读成数学条件 六是，扎实的基础知识，比如公倍数、最简分数，对解决重复次数帮助很大 等等
- 充分性，能完善想到答案，很能说明能力；非必要性，即便解答有不足，也不能否定学生素质。
附注
👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-03-24 09:55