题目
如图，正方形ABCD，BF⊥DE，DE是CG中垂线；证明：BF=DF+CG
归属：三角全等、草图原则、线段和、☆正方形、中垂线、关键链接
—— todo 多个解法，待整理
年级：8年级
解答（1）
解答
- 如图，作HG∥BC；进下来仅需证 全等 即可
- 作：GI⊥BF
- 可得：DGJ≌HGI
- 可得：EIGJ是正方形；得证 解析
- 草图原则—— 以下图形，出现干扰特征，FH=FG，这不利于解题
- 三角全等——阴影三角形（DFC、HFG）属于SSA类型，不好直接证明全等
- 关键链接——证明过程，F点是关键点。衔接了HF、DF直接目标；衔接了诸多已知、未知信息
解答（2）
证明
- 作 平行四边形BFB’C
解答——关键小结论
题目
指向原始笔记的链接
参考
【类型】一、截长
“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：
如图2所示，在BF上截取BM=DF，
易证△BMC≌△DFC（SAS），
则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF为等腰直角三角形，
又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，
可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，
于是BF=BM+MF=DF+CG.
方法二：
如图2所示，在BF上截取FM=GC，
可证四边形GCFM为平行四边形，
可得CM=FG=CF；
可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；
又得∠BMC=∠DFC=135°，
于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，
于是BF=FM+BM=CG+DF.
上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。 [来源:Z§xx§k.Com]
方法三：[来源:Z,xx,k.Com]
如图3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，
可证得∠DFC=∠KFG=135°，
所以△DFC≌△KFG（SAS），
所以KG=DC=BC，
∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，
得四边形BCGK为平行四边形，BK=CG，
于是BF=BK+KF=CG+DF.
图3
方法四：****[来源:Z#xx#k.Com]
如图3所示，在BF上截取BK=CG，
可得四边形BCGK为平行四边形，
BC=GK=DC，BC∥KG，
∠GKF=∠CBF=∠CDF，[来源:学科网]
根据四边形BCFD为圆的内接四边形，
可证得∠BFC=45°，∠DFC=∠KFG，
于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，
于是BF=BK+KF=CG+DF.
上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BDC和△KDF。
【类型】二、补短
“补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破，根据辅助线作法的不同也涉及四种不同的方法。
方法五：
如图4所示，延长GC至N，使CN=DF，
易证△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，
于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
图4**[来源:Zxxk.Com]**
方法六：
如图4所示，延长GC至N，使NG=BF，
得四边形BFGN为平行四边形，
所以BN=GF=CF，
又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，
得∠DCF=∠CBN，
又CD=BC，可证△CDF≌△BCN（SAS），
DF=CN，以下从略.
方法七：
如图5所示，延长CG至P，使CP=BF，连接PF，
则四边形CPFB为平行四边形，PF=BC=DC，
又∠BFC=45°，∠PFE=∠DEC，
因为∠PFG=∠FGC－∠P= 45°－∠P，
∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，
又可证∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，
所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，
于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.
图5
方法八：
如图5所示，延长CG至P，使GP=DF，连接PF，
可证∠DFC=∠PGF=135°，FC=CF，
所以△DFC≌△PGF（SAS），
所以DC=PF=BC，
∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，
所以四边形BCPF为平行四边形，
所以BF=CP=CG+PG=CG+DF.
方法九：
如图6所示，延长DE至Q，
使DQ=BF，连接CQ，GQ，
可证△BCF≌△DCQ（SAS），
CF=CQ，∠BCF=∠DCQ，
于是可得∠FCQ=∠BCD=90°，
所以△FCQ为等腰直角三角形，
可得四边形FCQG为正方形，FQ=CG，
所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.
图6
方法十：
如图6所示，延长FE至Q，使FQ=CG，通过证明四边形FCQG为正方形，△BCF≌△DCQ，同样可以证明结论成立。感兴趣的读者可以自行证明，详细思路从略。
方法十一：
如图7所示，延长FD至H，使DH=CG，
可证得∠BDF=∠BDC+∠CDF，
∠ECF=∠FCG+∠CEG，
于是∠BDF=∠ECF，
则∠BDH=∠BCF，
所以△BDH∽△BCF（SAS），
得∠H=∠BFC=45°，
所以△BFH为等腰直角三角形，
于是BF=HF=DF+DH=DF+CG.
**图7
**
方法十二：
如图7所示，延长FD至H，使FH=BF，
可得△BFH为等腰直角三角形，
于是∠HBD=∠FBC，又∠H=∠BFC=45°，
所以△BDH∽△BCF，
所以BF=HF=DF+DH=DF+CG.
经过上述分析，可知采取不同的切入点，解题思路会有差异。