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题目

将n个正整数 $x_1,x_2,....,x_n$ 按一定顺序排列组成一个n元有序数组，n为正整数，记作 $X=(x_1,x_2,....,x_n)$ 称：此数组中各个数绝对值之和为“模和”，记为S，即 $S=|x_1|+|x_2|+....|x_n|$将所有满足模和为S的n元有序数组的个数为记为 $N(n,S)$ 例如 ——若二元数组的模和S=1，即 $|x_1|+|x_2|=1$ ——其中满足条件的数组有$(0,1)，(1,0)，(-1,0)，(0,-1)$ ——共4个，则 $N(2,1)=4$ 请根据以上规定完成下列各题: ——(1)填空: $N(1,1)=\_\_\_\_\_,N(2,3)=\_\_\_\_\_$ ——(2)若 $N(2,S)=200$，则 $S=\_\_\_\_\_$ ——(3)用含k(k为正整数)的式子填空：$N(3,K)=\_\_\_\_\_$ ——关联：代数式-整式、※向下思考，向上抽象、插板法、分步思想 ——①计数问题，插板法（小学拓展知识、高中知识） ——②清晰的分类思想，包括但不限于对符号的处理 ——③初中代数入门，表达式的建立 ——④解题层次：枚举、分类、一定的规则、更好的规则、更完整的规则 ——⑤从简化到规则化 ——链接：〚251021〛✶✶✶✶✶🙇

这是北京7年级学生问的一道题，校内拓展 本意是练习创建代数式 ——7年级学了多项式以后，一个相应的练习就是：给实际问题列出需要的多项式

但，这题用到较深的小学拓展知识 故，几乎没有学生能做出来

这类题不需熟练掌握，其价值在于：

1. 在解题中体会面对问题的策略，增强数学学习能力
2. 在解题中体会处理问题的方法，增强基础分析能力

这能力显然很有意义，但学校，并不教 这也可以说是愧对孩子的地方 给了学生太多的压力，说了很多要什么 但并没有讲清楚怎么学怎么做、怎么思考、怎么努力… 任凭孩子们自己去挣扎 不容易呀

解答 - N（1，1）-枚举

最简单的枚举方法 枚举：$(1),(-1)$ 答案：$N(1,1)=2$

解答 - N（2，3）- 树形图分类枚举

分类枚举 枚举： $(0,3)(0,-3)$ $(1,2)(1,-2)(-1,2)(-1,-2)$ $(2,1)...同上...$ $(3,0)(-3,0)$ 答案：$N(2,3)=2+4\times 2+2=12$

注： 依然使用普通枚举 ——是非常不推荐的解题思路，特别是学习中 ——学习中，多杀鸡用牛刀，用高级方法解决问题 ——即：为后续解决更难问题做好能力储备 ——否则，老黄牛般把老方法用到极致，将出现更长的停滞不前，进一步碰到更多的捉襟见肘 ——老方法用到极致，是一个选择，也有自己的价值。 ————即：让老方法更扎实的生根，给新问题新思想托底 ————但，不能以规避新思想的使用为代价

注： 分类枚举中“分类”的价值 ——给“规律性、规则”提供思路 ——是做逻辑推理的铺垫 ——比如上面（1，2）和（2，1）的同构，意味着可用乘法

解答 - N（2，S）- 清晰的规则

有两个思路得到$N(2,S)$

其一，不完全归纳

1. 计算若干值，比如$N(2,1),N(2,2),N2(2,3),N(2,4),N(2,9)$
2. 通过前几个找到数值规律，通过最后一个验证 这个方法，明显的优势：思路简洁，都可以做 也有明显的劣势：可能需要较多时间、逻辑不足，始终存在错误的风险

其二，简单计算，然后主要精力放在逻辑推理

1. 计算$N(2,1),N(2,2),N(2,3)$
2. 在计算中寻找规律性，并加以确认 这个方法，需要更多抽象思考，但结论严谨

用第二个方法，分析$N(2,S)$

• 含0情况
  • $S=0+S$
    • $S=0+|S|$
    • $S=0+|-S|$
  • $S=S+0$
    • $S=|S|+0$
    • $S=|-S|+0$
• 不含0情况
  • $S=1+(S-1)$
    • $S=|1|+|S-1|$
    • $S=|1|+|-(S-1)|$
    • $S=|-1|+|S-1|$
    • $S=|-1|+|-(S-1)|$
  • $S=2+(S-2)$
  • … …
  • $S=(S-1)+1$ 以上，所有个数 $=4+(S-1)\times 4=4S$

这里，$4S$，就是最后的解析答案

如果，写一个“体现思路”的计算公式，那么是：$个数=C_2^1{C}_2^1+(S-1)C_2^1{C}_2^1$ 第1个$C_2^1$，指：从2个加数中选一个，取为0 第2个$C_2^1$，指：非0的加数可以从“+-”中取一个符号 这里S-1，指：两个加数都非0，不考虑符号有S-1个 第3个$C_2^1$，指：第一个加数“+-”两个符号中选一 第4个$C_2^1$，指：第二个加数“+-”两个符号中选一

既然有了答案，为什么写体现思路的计算公式 一方面，这让推理更加清晰、确定 另一方面，给更复杂的推理奠定基础，比如$N(3,K),N(4,K)$ ——但凡是对问题处理的深入清晰，一定会在后续学习或解题中带来价值

解答 - $N(3,K)$

对于加数为3个情况，其处理和2个有明显不同 ——相对比，4个以上反而复杂程度不再增加

从 $N(2,S)$ 的求解中，可以继续沿用的东西有

1. 是否包含0，符号的影响不同 不包含0，2个加数符号带来4倍影响 包含0，有几个非零加数，符号影响的倍数是2的几次方
2. 不考虑符号，即大于等于0时，有多少方法，是问题的关键 对于2个加数，个数是K-1 对于3个加数，方法不再适用——此时可用等差求和 但是对于4个加数，“等差求和”的加数也不再适用 故：需要一个更抽象、更一般的方法

3个加数的分析 - 使用“分步思想”

1. 2个0的情况 ——位置选择：×3 （一共 $C_3^2=3$ 种位置选择） ——加数选择：×1 （只考虑正数，只有一种情况） ——符号选择：×2 （考虑到“+-”符号，需要 $\times 2$） ——故 ×3×1×2=6
2. 1个0的情况 ——位置选择：×3 （一共 $C_3^1=3$ 种位置） ——加数选择：×(K-1) （有 $K-1$ 种两个数组合情况） ——符号选择：×2×2 （两个加数都有“+-”符号选择） ——故 ×3×(K-1)×2×2=12k-12
3. 没有0的情况 ——此时分成3个正数的和，用插板法 ——即：相当于“从K-1个间隔种选2个插板” ————即：$C_{K-1}^2=\frac{(K-1)(K-2)}{2\times 1}$ ——考虑到符号，这里有三个数，需要 $\times 2^3$ ————这里2表示“+-”2个符号，3表示3个加数； ——故总个数：$\frac{(K-1)(K-2)}{2\times 1}\times 2^3=4(K-1)(K-2)$
4. 以上相加 $6+12K-12+4(K-1)(K-2)=4K^2+2$ 答案：$4K^2+2$

换个角度验证 从解题角度，这是额外的工作 从学习角度，这是重要的事情

以上3种情况，所有非负情况的和是：$(3)+3(K-1)+(\frac{(K-1)(K-2)}{2\times 1})=\frac{K^2+3K+2}{2}$ 这个“和”相当于：从将K=a+b+c，允许为0的情况有多少种 依然采用插板法，转化为：将K+3分成三部分，每部分至少是1 ——如果对这部分不理解，需要了解下插板法 以上，计算结果是 $C_{K+2}^2=\frac{(K+2)(K+1)}{2\times 1}=\frac{K^2+3K+2}{2}$ 以上，两个结果相互验证。很好！

附注

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