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题目

已知，坐标平面上三点A(2,3)、B(-3,-1)、C(3,-5)，求▲ABC的面积 ——关联：格点面积 ——多个不同的计算方法，系统化理解相关知识 ——链接： 〚251216〛☆🏅

小学4-5年级几何入门阶段，或初中7年级坐标入门阶段 方法1、方法2，具有直接的应用价值，是入门面积问题的两个基础思路 方法3，具有逻辑拓展价值，体现为 ①两个面积等底同高、高相加 ②基于比例思想，求底的长度 方法4，具有思维练习的价值，体现为：抽象练习、逻辑归纳练习 方法5，拓展知识，适当了解 方法6，拓展知识，适当了解 初中8年级，解析几何 方法3的变化、以及方法7，属于解析几何的思路 多个方法的直接价值

• 求一条边的高，可以先用方法1、2求面积，然后除以边长得到高 ——可以代替直接计算垂足坐标的方法 ——特别是当“垂线”不会求的时候

解答，方法1 - 切割

解答，方法2 - 加减组合

解答，方法3 - 更简单的切割，更直接的计算

如图，易得：$BX=5,BY=6$ 故：$BD=5.5$ ——注：D并非总是在X、Y中间，取决于A、C的上下位置 故：$S_{阴影}=BD\times AX÷2+BD\times CY÷2=5.5\times (3-(-5))÷2=22$

注：$BD\times AX÷2+BD\times CY÷2=BD\times (AC上下距离)÷2$ —— 是很有益的逻辑上的理解 注：若上下方向上，A更靠近B点，则BD更接近BX——按比例分配即可

解答，方法4 - 规则化公式化

由A(2,3)、B(-3,-1)、C(3,-5)组成的以上图形中

1. $长方形面积=长\times 宽=6\times 8=48$ $长=最大x-最小x=3-(-3)=6$ $宽=最大y-最小y=3-(-5)=8$
2. $AB三角形=|x-x|\times |y-y|\times \frac{1}{2}=5\times 4\times \frac{1}{2}=10$
3. $AC三角形=|x-x|\times |y-y|\times \frac{1}{2}=1\times 8\times \frac{1}{2}=4$
4. $BC三角形=|x-x|\times |y-y|\times \frac{1}{2}=6\times 4\times \frac{1}{2}=12$
5. $S_{阴影}=长方形-AB三角形-AC三角形-BC三角形=48-10-4-12=22$

注：以上解法，无需图形，直接根据坐标计算即可

解答，方法5 - 格点图形面积公式

$面积=21-1+4÷2=22$

公式解释

解答，方法6 - 海伦公式

AB、AC、BC长度可得 利用海伦公式求解

——此题，边长不是整数，计算量大 ——从思考的角度，想到这个方法，说明拓展知识掌握的不错

解答，方法3的变化 - 高年级解析几何练习

当会用直线方程时，则可以如下方法求D点坐标

1. AC方程：$y-3=(x-2)\times \frac{-5-3}{3-2}$
2. BD方程：$y=-1$
3. 连理求解：D点的横坐标2.5 后续，按方法3求解

这个方法，高年级知识，逻辑清晰 ——应用在简化问题上，求解不够简洁高效

解答，方法7，-高年级解析几何练习

如图，直线AC的斜率是：$-8$ 则，垂线BD的斜率是：$\frac{1}{8}$ 故，D点坐标可求，高BD长度可求，面积可求

附注

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