题目

若12=a+b+c，有多少种拆分方法？要求：a、b、c≥0，顺序不同算不同方法；归属：加法拆分、※ 结构化、模式思想

解答（1）-分类，加法原理

求解

a=0，b=0、1、…、12，c=被动决定，个数=13
a=1，b=0、1、…、11，c=被动决定，个数=12
a=2，b=0、1、…、10，c=被动决定，个数=11
…
a=12，b=0、…、0，c=被动决定，个数=1
总数=1+2+…+13=(1+13)×13÷2=91 解析
最基础、朴素的方法
※ 结构化若12=a+b+c+d，如何？ a=0，个数=1+…+13 a=1，个数=1+…+12 … a=12，个数=1 总数=1+（1+2）+（1+2+3）+…+(1+…+13)

求解

模式：12个石头，前后13个空格 ——13个空格任选2个，将12个石头分成3部分a、b、c ——注，空格可以重复选择比如：··|·······|···，表示：2+7+3 比如：|·········|···，表示：0+9+3 比如：··||··········，表示：2+0+10 比如：··|··········|，表示：2+10+0
个数= $(13 \times 13 + C_{13}^{1}) \div 2 = 91$ 解析
关于算式这里：13×13，表示第一个选择13种，第二个选择13种。但这里有重复 ——如果两个选择，位置不同，则计算了2次； ——但位置相同，只计算了一次怎么处理？ ——位置相同的个数有 $C_{13}^{1}$ 个，增加 $C_{13}^{1}$ 个，便相当于所有情况都算了2遍 ——故： $(13 \times 13 + C_{13}^{1}) \div 2$ 另一个处理方法 ——先去掉不重复的 $C_{13}^{1}$ ，÷2计算出位置不同的个数，然后相加 ——即： $(13 \times 13 - C_{13}^{1}) \div 2 + C_{13}^{1}$
这个方法的关键：模式思想——给问题创造一个数学模型！
创建模式并不容易，具有一定的跳跃性，类似于构造思想的跳跃性

求解