〚CMO-2026.0〛

题目

求三个质数p、q、r，满足：$(p-5)(q-21)(r-26)=pqr$ ——CMO、数论问题、隐含约束、不定方程的整数解、🔯质数、〚CMO-2026.0〛

解析 - 核心能力

隐含约束分析

1. (p-2) (q-21) (r-26) 也是质数 根据因式分解的唯一性 (p-2) (q-21) (r-26) 也是p q r 三个数——仅顺序不同
2. (p-2) (q-21) (r-26) 必然是2个负数、1个正数 假设 $p-2>0,q-21>0,r-26>0$ 那么 $(p-2)<p，q-21<1，r-26<r$ 故有 $(p-2)(q-21)(r-26)<pqr$ ——这与条件矛盾，故，不成立 因此，只能是：2负1正
3. p q r，中必然有一个是2 由以上分析 q-21=±k，k是p、r中的一个，也是质数 故：q±k=21 两个质数加减=奇数，必然其中一个是：2 ——否则：奇数±奇数=偶数，得不到21
4. p-5>0 如果 p-5<0，那么p、q、r中有2个数小于5 那么，（p-2）（q-21）（r-26）全是负数，矛盾 进一步：p-5>0，q-21<0，r-26<0

所谓 隐含约束

Transclude of 隐含约束#是什么

不定方程解题思路

1. 隐含约束，带来的是必要条件：必须满足 依靠这些条件，大大缩小答案范围 现实中，很难完美的找到所有的隐含条件 我们也不需要全部找到 比如，本题，找到p、q、r必然满足“两个的和=5、21、26”就足以筛掉很多答案，大大缩小范围（仅有3个可能）
2. 在可能的答案中，逐个检查 这个检查，就是充分性检查 简单说：就是代入原题，看是否满足

关于 不定方程的整数解 解法

是什么

一个问题有多个可能解，一个方程有多个变化的量 常见情况：数论问题 求整数解、竞赛类型应用题 常用方法：整除 分析、📝因式分解 难点：表达出要分析的内容，即构建抽象的数学题，然后还要完成分析 整体思想：必要与充分 必要条件限制范围、充分条件验证答案

※ 规则化公式化 - 不定问题解题思想

两大步

1. 必要条件 答案不减少 首先实现价值：缩小范围，约束性越强，价值越高 同时保证：因为“必要”性，缩小但又不会漏掉答案
2. 充分条件 答案不增加 确保满足条件，检验答案，不让似是而非的答案混进来 其中第一步是难点

• 比如整除手段，需要以下工作
  1. 约束表达，比如 $a=\frac{6+b}{b-1}$ ——并非所有题目够给出明显的约束，这一步也未必很简单 ——比如 〚CMO-2024.3〛☆☆👍
  2. 同余分解，比如 $a=\frac{6+b}{b-1}=1+\frac{7}{b-1}$ ——相当于 假分数→带分数，参考 ※ 分式分解
  3. 整除分析，比如 “b-1是7的所有约数”，比如“m+3是4的倍数”等 ——至此，方找到“必要条件”
• 另一个手段是 📝因式分解、质因数分解

指向原始笔记的链接

基础知识 🔯质数

1. 关于：质因数分解“唯一性” $(p-5)(q-21)(r-26)=pqr$ 这是同一个数的两个分解，左右必然是一样的 注：这里需要p-5≠1、q-21≠1、r-26≠1，这很容易得到
2. 关于“唯一性”的变化 符号可以变化、顺序可以变化 ——这些知识，说起来，不难 ——但：若没人不说，自己能否想到？ ——这才是关键
3. 关于“质数2”的特殊性 在高思中有一道题：已知两个质数p+q=151，求p、q 那么必然一个是2，一个是151-2=149

解答

附注

👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-03-23 09:57