〚一课一练9-1-18〛☆🏅

题目

设集合$A=\{x|x^2+(2a-3)x-3a=0,a\in R\}$，$B=\{x|x^2+(a-3)x+a^2-3a=0,a\in R\}$，若$A\ne B，A\cap B\ne \varnothing$ ，求AUB 【变化练习】 设集合$A=\{x|x^2+x-3a=0,a\in R\}$，$B=\{x|x-2a+1=0,a\in R\}$， 若$A\cap B=\varnothing$ ，求a的范围 【关联问题】 设集合$A=\{x|x-3k=0,a\in N\}$，$B=\{x|x-2k-1=0,k\in R\}$， 若$A\cap B=\varnothing$ ，求k的范围

解答

解析

👉※ 被动约束与主动约束

题目中 $A\ne B、A\cap B\ne \varnothing$ 两个条件长得很像，但其作用的方式有很大不同； 前者，$A\ne B$，仅提供了很弱的约束。二次方程的根不完全相同，这是常见情况，由此很难主动得到什么信息。因此属于“被动约束”，即：这个约束是被动的发挥作用，在求解完成后，用这个约束做验证、过滤不符合的答案。 后者，$A\cap B\ne \varnothing$，则不同，两个方程有共同的解，意味着两个方程可以联立成方程组

👉※ 超定方程

如下方程组 $\{\begin{array}{l}{x}^2+(2a-3)x-3a=0\\ x^2+(a-3)x+a^2-3a=0\end{array}$ 如何理解这个方程组？

1. 怎么来的？ 并非题目中有2个方程，我们就可以联立成方程组。这里之所以可以的条件就是 $A\cap B\ne \varnothing$ ，即有共同解，即（至少）有一个x满足这个（两个）方程，所以才可以联立。
2. 超定方程 一般说来，随便将两个一元方程放在一起，是无解的。比如 $\{\begin{array}{l}3x-2=2x+9\\ 5(x-3)=8\end{array}（方程无解）$ 这种情况，称之为“超定方程”，即约束条件超过了一般需求。要求太多，因此找不到满足条件的，因此无解。

👉※ 99%和1%

超定方程，有解的两类原因

1. 方程本身冗余，即有所等价，即有方程不包含新信息，只是其他方程的变化；
2. 方程含有参数 一个理解，参数是可调变量，通过参数的调整可以让解不重合的方程变得重合 另一个理解，参数理解为未知数，那么2个方程2个未知数，超定→适定 超定方程，常规无解；超定方程，特殊情况下有解。是为 99%和1% 的体现。 本题中，超定方程属于含参数（a）的情况

课堂笔记

“变化练习”题解

设集合$A=\{x|x^2+x-3a=0,a\in R\}$，$B=\{x|x-2a+1=0,a\in R\}$， 若$A\cap B=\varnothing$ ，求a的范围

1. 看起来和原题有所不同，但实质逻辑一致 都是要联立方程
2. 交集为空，有两种情况 情况1，A是空集 情况2，A、B联立，无解
3. 先看情况1，A是空集 意味着：$\Delta =1+12a<0，即：a<-\frac{1}{12}$
4. 再看情况2，联立方程组无解 $\{\begin{array}{l}{x}^2+x-3a=0\\ x-2a+1=0\end{array}$ 代入消元： $4a^2-4a+1+2a-1-3a=0$ $4a^2+5a=0$ $a_1=0，a_2=1.25$ $a_1=0，x_1=-1；a_2=1.25，x_2=1.5$ 故：$a_1\ne 0，a_2\ne 1.25$

附注

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