题目

已知 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $3 x + 4 y$ 的最大值

导引

解答

这是常见的高中最值问题一道题，多个方法并非，做这题需要这么多方法而是，学习中一题多解能更高效的学到多个方法

👉柯西不等式

$(3 x + 4 y)^{2} \leq (3^{2} + 4^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 25$ 优点：简洁缺点：

需要知识储备+深入理解以便用的好；
使用机会比均值不等式少，本身复杂故“生命期较短”，几年不用易生疏甚至忘记

👉 数形结合

记 $k = 3 x + 4 y$ —— 相当于求k的最值
$x^{2} + y^{2} = 1$ 图形是个圆 $y = - \frac{3}{4} x + \frac{k}{4}$
问题划归为斜率为 $- \frac{3}{4}$ 且与圆相交（切）的所有直线中，截距最大如图
根据斜率，得：ABC为三边比例3:4:5的直角三角形 AC=半径=1，BC=5/4 即：k/4=5/4；从而：k=5

优点：形象缺点：需要数形结合能力，需要较好的解析几何能力学习：很好的学习“数形结合”思想机会；复习巩固解析几何的机会

👉※ 判别式求最值

记 $k = 3 x + 4 y$
代入已知等式 $x^{2} + (\frac{k - 3 x}{4})^{2} = 1$
问题化归为：以上二次方程有解的最大k值 ——注：有解，即意味着存在x、y满足最值原方程整理： $16 x^{2} + k^{2} + 9 x^{2} - 6 k x = 16$ 判别式： $Δ = (6 k)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot (k^{2} - 16) \geq 0$ 求解： $k^{2} \leq 25$

优点：比较通用缺点：想到难，理解不易学习：这是实现了 👉※ 隐含约束的转化表达，难的的学习“约束思维”的机会；

👉均值不等式

$(3 x + 4 y)^{2} = 9 x^{2} + 16 y^{2} + 24 x y$ $= 9 x^{2} + 16 y^{2} + 2 \cdot 4 x \cdot 3 y$ $\leq 9 x^{2} + 16 y^{2} + (4 x)^{2} + (3 y)^{2}$ $= 25$ 得解

优点：简洁缺点：对均值不等式的理解和灵活应用要求高

👉对偶思想

记： $m = 3 x + 4 y, n = 4 x - 3 y$
$m^{2} + n^{2} = 25 x^{2} + 25 y^{2} = 25$
$n^{2} 最小 = 0 ， m^{2} 最大 = 25$

优点：有趣缺点：需要对偶思想，需要构造能力

注：对偶解法、均值不等式方法，有相通之处

几个方法比较

方法	过程	知识要求	思维要求	注
均值不等式	☆	☆	☆☆	初中知识、过程简洁、容易掌握
柯西不等式	☆	☆☆☆	☆☆	高中（偏拓展）知识
数形结合	☆☆☆☆	☆☆	☆☆☆	过程较复杂，数学思想要求略高
判别式法	☆☆☆☆	☆☆	☆☆☆☆	过程略复杂，约束思想要求高，难原生想到
对偶思想	☆☆	☆	☆☆☆☆	对偶思想要高中虚数之后才有机会建立
换元法	☆☆☆	☆☆☆☆	☆☆☆	利用三角函数两个性质，很好的交叉学习
向量法	☆☆	☆☆☆☆☆	☆☆☆	过于交叉高等知识

写在最后，👉※ 蹩脚的方法

一道题的多个解法从客观角度，从个人熟悉和习惯的角度，有的舒服，有的别扭但别扭，只是此时此地的应用感觉不是方法本身当前别扭的方法，学会了，在其他题目上就是蜜糖

只管学习，各自精彩

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

$x^{2} + y^{2} = 1$ 求 $3 x + 4 y$ 最大值

mathinkin

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〚260916〛☆☆📋

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