题目

$关于 x 的不等式组 {x^{2} - x - 2 > 0 2 x^{2} + (2 k + 5) x + 5 k < 0 的所有整数解组成的集合为 {- 2} ，$ $求 k 的取值范围$

解答

错误的求解思路：将 $x = - 2$ 代入 $2 x^{2} + (2 k + 5) x + 5 k < 0$ 得到关于k的不等式 $2 (- 2)^{2} + (2 k + 5) (- 2) + 5 k < 0$ ，然后解不等式，得k的范围
迷惑性以上求解，看起来很“顺溜”，像一道题解题的样子但实则错误受套路解题影响越多，越容易出现这个问题
错误的根本原因这个解法，是满足要求（整数解只有-2）的必要条件即：-2肯定要满足 $2 (- 2)^{2} + (2 k + 5) (- 2) + 5 k < 0$ 这样得到的k，等价于：保证这个不等式满足是让-2成为解的必须满足的条件，但并不充分，比如：万一“-2”不满足第一个不等式 $x^{2} - x - 2 > 0$ 怎么办？即便，通过解两个不等式组成的不等式组，得到的k的范围，逻辑也不对。因为，即便“充分”满足了-2是解，还需要满足：-3、-1 不是解。
题目对k的真实要求其一，满足-2成为解的必要条件，即： $2 (- 2)^{2} + (2 k + 5) (- 2) + 5 k < 0$ 其二，满足-2成为解的充分条件，即： $x^{2} - x - 2 > 0 ， x = - 2 成立$ 其三，满足-2是唯一整数解，即…-4、-3、-1、0…等等不是解注：以上，为什么把“其二”和“其一”分开？因为 $x^{2} - x - 2 > 0$ 中没有k，很容易被忽视。假设不满足，意味着k的范围直接是空集，没有任何k让-2成为解。注：以上，其三，才是对k的约束中最难处理的。

解 $2 x^{2} + (2 k + 5) x + 5 k < 0$ ，十字相乘分解 $(2 x + 5) (x + k) < 0$
解为： $⎩ ⎨ ⎧ k > \frac{5}{2} k = \frac{5}{2} k < \frac{5}{2} - k < x < - \frac{5}{2} 无解 - \frac{5}{2} < x < - k$
解 $x^{2} - x - 2 > 0$ ，即： $(x - 2) (x + 1) > 0$ ，即： $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$
综合分析 $k > \frac{5}{2} 时， - 2 不在范围内，不符合要求$ $k = \frac{5}{2} ，不符合要求$ $k < \frac{5}{2} 时，不等式组的解为：$ ${- \frac{5}{2} < x < - k (- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ -2成为唯一解，需要 $⎩ ⎨ ⎧ k < \frac{5}{2} - k > - 2 - k \leq 3 分类条件保证 - 2 在解的范围内保证没有其他解，这里主要是 3$ 故最后k的范围： $[- 3, 2)$
注：以上分析逻辑上清晰严谨，现实中依赖数轴更直观简洁。如下：

方法简述：

尝试做一下：

“-2”是解，要求满足： ${(- 2)^{2} - (- 2) - 2 > 0 2 (- 2)^{2} + (2 k + 5) (- 2) + 5 k < 0$
“-3”不是解，要求满足： $(- 3)^{2} - (- 3) - 2 \leq 0 O R 2 (- 3)^{2} + (2 k + 5) (- 3) + 5 k \geq 0$
“-1”不是解，要求满足： $(- 1)^{2} - (- 1) - 2 \leq 0 O R 2 (- 1)^{2} + (2 k + 5) (- 1) + 5 k \geq 0$
综合，相当于需要k满足以下不等式组 $⎩ ⎨ ⎧ (- 2)^{2} - (- 2) - 2 > 0 2 (- 2)^{2} + (2 k + 5) (- 2) + 5 k < 0 (- 3)^{2} - (- 3) - 2 \leq 0 O R 2 (- 3)^{2} + (2 k + 5) (- 3) + 5 k \geq 0 (- 1)^{2} - (- 1) - 2 \leq 0 O R 2 (- 1)^{2} + (2 k + 5) (- 1) + 5 k \geq 0$
各不等式分别求解 $⎩ ⎨ ⎧ (- \infty, + \infty) k < 2 \emptyset O R k \leq 3 (- \infty, + \infty) O R 无需计算$

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