〚市北7-11.5-e2(2)〛💯

题目

计算 $1\frac{2}{15}\times \frac{13}{15}$ 平方差用于计算；平方差公式、※一题一世界🔺、、〚市北7-11.5-e2(2)〛💯

解析

写在前面

不是高深内容，是知识点的小深入，是普通学生有所受益的小细节。从中看到，👉※一题一世界🔺。学透 = 清晰的规则、背后的道理与思维模式

题解

$1\frac{2}{15}\times \frac{13}{15}=(1+\frac{2}{15})(1-\frac{2}{15})=1^2-(\frac{2}{15}{)}^2=\frac{221}{225}$

👉特征思想

和随意一道题目，比如 $17\frac{7}{13}\times 216\frac{2}{15}$，相比，这道题有明显特征 比如，两个乘数中分母都是15 比如，分子的和2+13=15，等于分母 若可以进一步，还有：$1\frac{2}{15}+\frac{13}{15}=2$

在经验套路解题之外，这通往另一条 👉※ 原生思考 的道路

👉※ 规则化公式化、👉深入学习

平方差用于乘法计算的公式 $ab=(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2})(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2})$ 注：

1. 计算方法你可能用了多次，但有没有总结一下这个公式？
2. 可能认为它很简单，无需总结。但总结了，是不是对问题理解更加清晰、透彻？
3. 或许，还有进一步或大或小价值
4. 公式还有不同的表述，比如： $ab=[\frac{a+b}{2}+(\frac{a+b}{2}-a)]\cdot [\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-a)]$
5. 不同公式，代表我们对问题逻辑的不同理解（尽管它们是相通的） 相同：都是寻找m、n，满足$ab=(m+n)(m-n)$ 不同，针对19×21 ——方法1：m=20，n=(21-19)/2=2/2=1 ——方法2：m=20，n=(20-19)=1 ——方法3：m=20，n=(20-21)=-1
6. 以上方法，无需考虑a、b的大小 比如，针对21×19 ——方法1：m=20，n=(19-21)/2=-2/2=-1 ——方法2：m=20，n=(20-21)=-1 ——方法3：m=20，n=(20-19)=1 为什么不考虑a、b，原因不难。但如此分析一遍、想一遍，对问题的理解就加深了，分析能力也就无形中逐步提升 （时间久一点，便是一个人能力质的变化） 这便是鼓励 👉深入学习 的原因。

👉※ 深入理解-底层逻辑 - 平方差用于计算的条件及原因

平方差有机会简化乘法计算，其适用条件是：

1. 乘数的和，整数
2. 乘数的差，很小

比如，两个条件都满足：$21\times 19=(20+1)(20-1)=20^2-1^2$ 比如，只满足“和整数”：$21\times 79=(50+29)(50-29)=50^2-29^2$ 比如，只满足“差很小”：$77\times 79=(78+1)(78-1)=78^2-1^2$

可以看到，满足2个条件，用平方差计算的价值才最大

👉※ 蹩脚的方法

蹩脚的方法，对于解题是个灾难，对于学习方法是个好机会。 比如 $17\frac{7}{13}\times 216\frac{2}{15}$，如果“硬”用平方差，能完成吗？

参考：$17\frac{7}{13}\times 216\frac{2}{15}=[(\frac{(17\frac{7}{13}+216\frac{2}{15}}{2})+(\frac{(17\frac{7}{13}-216\frac{2}{15}}{2}))]\cdot [(照抄)-(照抄)]$ 或者写成$17\frac{7}{13}\times 216\frac{2}{15}=[(\frac{(17\frac{7}{13}+216\frac{2}{15}}{2})+(\frac{(17\frac{7}{13}+216\frac{2}{15}}{2}-17\frac{7}{13})]\cdot [(照抄)-(照抄)]$ 以上，于计算，毫无价值；于学习，做到了扎实。

进一步关联

如下相关的恒等转化

1. $4ab=(a+b{)}^2-(a-b{)}^2$
2. $ab=(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2})(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2})$
3. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
4. $(a+b)(a-b)=(\frac{(a+b)+(a-b)}{2}{)}^2-(\frac{(a+b)+(a-b)}{2}{)}^2$ 以上，没啥难的，平方差本身就不难，知识都不难；难的是，把基础做扎实，比如这里分科可以有点感觉：以上，在两个数的和、差、倍之间建立了相关关联

那，做这些干嘛？ 如下，韦达定理应用，与之如出一辙： 具体题目：

👉逆运算 与 同构思想

平方差用于计算，不仅限于：$ab=m^2-n^2$ 对于 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 也有计算应用，比如这道题：“已知圆环面积$120\pi$，圆环宽度4，求小圆的半径？”

一如乘法分配律，ab+ac=a(b+c)，有时正着用简化计算，有时反着用简化计算。这体现了 👉同构思想

写在最后

一方面，学习平方差的计算应用，要学到这个程度，方算扎实深入；另一方面，我们学任何知识，都要习惯于做类似思考。

另，平方差最漂亮的应用是“寻找勾股数”，后面整理一下这个。

附：昨日上课（相关）笔记

解答

附注

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