〚几何学辞典.36〛⭐⭐点线-三中点💯

题目

如图， 已知：ABC三点共线，D=AB中点，E=BC中点，F=AC中点 证明：① DF=BC/2；②EF=AB/2；③DE=AC/2

解答

• 思路1，结构化数值分析🔺
  • 根据条件，知有如下“数值关系”
    • AD=DB；DE=EC；AF=FC
  • 使用以上关系，做“逻辑推理”
    • DF=AF-AD=FC-DB=BC-DF
    • 即：DF=BC-DF
    • 故：DF=BC/2
• 思路2，化归思想 > 逻辑降维
  • 基于长度、点的关联，有：
    • DF=F-D；BC=C-B
    • F=(A+C)/2；D=(A+B)/2
  • 故：
    • DF=F-D=(A+C)/2-(A+B)/2=(C-B)/2=BC/2
• 思路3，化归思想 > 逻辑降维+结构化数值分析🔺
  • 不妨定义：A=0；AB=2m；BC=2n
  • 易得每个点的刻度
    • A=0，D=m，B=2m，C=2m+2n，F=m+n，E=2m+n
  • 从而：
    • DF=F-D=(m+n)-m=n；
    • BC=(2m+2n)-2m=2n;
  • 得解

解析

• 题目归类 ※线段长度计算，关注‘数学表达’ > 化归思想 逻辑降维
• 关于方法1， 结构化数值分析🔺
  • 着眼点在于题目本身的数据之间结构，更关注数据之间
  • 本题，是关于线段 AB、CD…等相互关系
  • 解题过程，也仅仅涉及AB、BC、DF…这样的线段长度概念
  • 概念上是一致的，重点是之间的关系
  • 这是常见的解题思路
    • 这个过程中 数学表达正推发散 起到很好的作用
    • 参考 〚新思路6下-7.2-8〛留痕阅读与正推发散
• 关于化归思想 > 逻辑降维
  • 这是一个截然不同的处理方式
  • 用到：XY=Y-X，即把线段的长度，同端点的刻度，关联
  • 用到：中点=左右端点的平均值
    • ——若不曾了解，从现在起，便知道了
    • ——基础、简单、有用
• 关于 方法3，两者的综合
  • 方法1，不需要定义的转化，纯做逻辑分析
    • ——因此，也就考验逻辑处理能力；
  • 方法2，做了“长度-刻度”的转化，其价值在于
    • 如果题目有6个点，那么可能出现6×5÷2=15条线段
    • 分析6个点，显然比分析15条线段，大概率要简单些
    • ——问题越复杂，这个简单的力度越高一些
    • ——简单题目，随意
  • 方法3，再方法2的基础上，重新对每个点的刻度，做了结构化的定义
    • 这进一步简化了处理难度
    • 将一道“逻辑推理”题，变为一道“计算题”
• 方法1、方法2中可能的难点
  • 当我们分析清晰了 条件中的线段关系
  • 当我们分析清晰了 各点之间的关系
  • 可能依然不止如何得到结论——此时，可能用一下 链接思维
    • 不断的把DF做变化，变化链接到目标BC；或BC做点什么变化，去迎接DF——这便是链接
    • 同理，把D、F点，尝试着、努力的，去和B、C产生关联——也是所谓的链接。
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