题目

已知三角形ADE的顶点E在三角形ABC的内部，点D、点E在直线AC同侧，若ΔABC是等腰三角形，AB=BC=5，AC=8，BH⊥AC，点E在高BH上点，D在HB的延长线上，联结AE并延长交边BC于点F，联结DF，DA，当∠DAE=∠ABH，▲ABD与▲BDF相似时，求EH的长 ——关联：压轴题(1)、结构化数值分析🔺、正推发散、复杂代数计算、列方程综述、约束表达、⫘相似-SSA半相似、比例分割、📝因式分解②分组法 ——没有更好解法之前，定义为4星难题。原题并没有给出图形，锻炼读题耐心。为降低难度，这里给出图形。 ——就目前理解，题目需要基础的角度分析、相似分析、相似-比例中项应用。这是常规要求。 ——①结构化数值表达：这是题目的第一个难点。大多数学生这个能力没有特意锻炼，不够好。 ——②约束方程：清晰的列出方程，本身是个考验。 ——③充分的正推与更好的方程：题目有些推理不易发现，也是可选；即便有了推理，也未必用其做方程。但这两点，都会导致我们原理容易求解的方程。 ——④简化方程：第2个方程方法，在分析方程中，就完成了消元，消AD。这是一个不常用、但有趣的方程能力 ——⑤约束表达：推论即表达，有更好的方程表现 ——⑥计算能力：一旦列出的是不好解的方程，概率很大，且无明确提示能看出方程不好。此时，需要一定计算能力和心理承受力去解方程。 ——⑦线段比例：如果是单独题目，可能会；但是作为一道题的基础出现，则是不小的考验。 ——⑧SSA半相似：是这道题最好的解法 ——⑨分组因式分解：远比想象的困难 ——链接：〚金山一模-2025-25三〛☆☆☆☆

创建时间： 2026-01-11 21:58

基础分析

注：

角度分析，是为相似等做准备
这里“第二组相似”，起到关键作用
这里“FA=FD”，起到重要作用 ——没有，也可以解题； ——有了，能更好的列方程； “正推”能力上不设限
这一步有2个需要注意的点 ——是否有足够的能力储备 ——是否有意识要认真的做正推

解法1

首先，分析-列方程
解释下，方程怎么来的？ 首先，定义：EH=m；BE=3-m 其次，利用线段比例计算BH，这是个难点 ——即，FC:FB=2GH:FB=2m:(3-m) 再次，利用相似比例中项，得到DB的值，BD·BD=AB·BC 最后，利用相似比例中项，AE·AE=BE·DE，列方程
求解方程，复杂计算 可能是这个解法里最难的部分 ——需要计算能力，在复杂计算中不出错，否则前功尽弃 ——需要良好的心理，能坚持算下去
特别的，分组因式分解，直接验证系数 $61 m^{3} - 33 m^{2} + 976 m - 528 = 0$

解法2 - 更简单的方程

解答如下注：这个方程容易求解。但问题在于，两个方程列起来都很自然。
这个解法的难点——怎么找到这个方程的 首先，是FA=FD，这个正推结论。 ——这个结论很漂亮 ——同时也不容易得到，正推到一定程度才有。其次，这个FA=FD结论可用，也可不用。为什么要选择用呢？ ——其一：这个约束关系简洁 ——其二：更深一层的推理，一般意味着能更好的体现数值逻辑。再次，怎么使用这个条件？ ——这里有个关键点：AD无需做数值表达 ——通过两个比例关系，将AD消掉（消元）