〚260615〛外接圆半径求解实例（多方法）☆☆🏅

题目

已知信息如图，求圆的面积 圆④，垂径定理、草图原则、外接圆、※ 系统化、※ 结构化、复杂代数计算、※算两次、方程思想、〚260615〛外接圆半径求解实例（多方法）☆☆🏅

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解答 - 草图原则 基于约束作图，提供解题思路

1. 作出基本4个正方形
2. 如何作圆？——来自于3个点 这3个点，信息如下 使用中垂线确定圆心 得到圆

求解 - 比较与对齐 在复杂问题中的价值

留意到，上面最后图里面出现了“方格”。首先，这是软件的方便性；但，借此，也可以看到：各个长度、图形，在格式化之后，更清晰的看到“最关键”的数量关系。

这里，格式化起到的作用，是 比较与对齐 思想的体现（关于“对齐与比较”，后续会在不同 主题下给出示例）。先看看这道题中的价值体现。

求解

方法1 - 相似直接计算半径

参考上面 关于 比较与对齐 的解释 如图， 易得：

1. 阴影三角形相似
2. $OQ:QR=DP:PR$
3. 故：$OQ=\frac{QR\cdot DP}{PR}=\frac{2\sqrt{5}\cdot 2}{4}=\sqrt{5}$
4. 故：$半{径}^2=O{D}^2=O{R}^2+Q{D}^2=5+4^2+8^2=85$
5. 故：$面积=85\pi$

方法2 - 列方程

列方程方法，多少也借助坐标概念，只是更多体现方程的思想

1. 定义x：圆心到一条弦的距离
2. 在小三角内，有勾股定理：$x^2+2^2=r^2$
3. 在大三角内，有勾股定理：$(16-x{)}^2+(4+2{)}^2=r^2$
4. 故：$x^2+2^2=(16-x{)}^2+(4+2{)}^2$ $4=256-32x+36$ $x=9$
5. $r^2=2^2+9^2=85$

注：方程不一定设最想要的数量为x，而是最方便的数量为x 注：方程怎么想到？ ——仅仅围绕“约束”

1. x定义在中垂线上，本身定义了圆心到两点之间的距离相等
2. 还需要另一个约束限制，即圆心到另一个点的距离也要相等 ——故，这个距离也想办法用x表示即可 ——从而有了 $(16-x{)}^2+(4+2{)}^2=r^2$ ——这里，想到16-x，也是一个小难点。怎么想到呢？思考x的变化如何影响圆心到第三点的距离，即可想到。

方法3 - 解析方法

参考，如图

1. 圆心(x,y)，三点坐标$(0,0)、(16,4)、(16,8)$
2. 距离相等，方程如下 $\{\begin{array}{c}\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}=\sqrt{(x-16{)}^2+(y-4{)}^2}\\ \sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}=\sqrt{(x-16{)}^2+(y-8{)}^2}\end{array}$
3. 解方程简单（只是样子吓人）$\{\begin{array}{c}0=-32x+16^2-8y+4^2\\ 0=-32x+16^2-16y+8^2\end{array}$ 口算即可的解 $\{\begin{array}{c}y=6\\ x=7\end{array}$
4. 面积 $=\pi \cdot ((6-0{)}^2+(7-0{)}^2)=85\pi$

方法4 - 面积 ※算两次

如图 定义半径r，有如下关系：$S_{▲OAB}+S_{▲OBC}-S_{▲OAC}=S_{▲ABC}$ 准备工作：$AB=4\sqrt{17}，BC=4，AC=8\sqrt{5}$ 数量表达 $S_{▲OAB}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{17}\cdot \sqrt{r^2-(\frac{4\sqrt{17}}{2}{)}^2}$ $S_{▲OBC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{r^2-(\frac{4}{2}{)}^2}$ $S_{▲OAC}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{5}\cdot \sqrt{r^2-(\frac{8\sqrt{5}}{2}{)}^2}$ $S_{▲ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 16$ 以上代入$S_{▲OAB}+S_{▲OBC}-S_{▲OAC}=S_{▲ABC}$得到方程

其计算复杂，有理化过程如下

方法5 - 利用对称性

1. 利用圆幂定理，$x\cdot 16=4\times 8$ 故$x=2$
2. 故：$直{径}^2=(x+16{)}^2+4^2)=324+16=340$ 故：$r^2=340÷4=85$

关于 ※ 系统化、※ 结构化

系统化，求解问题的不同角度，不同方法，关联不同思维方式

结构化，求解外接圆半径的一般情况、一般方法 ——已知3个普通坐标 ——已知3边长度

附注

👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-06-15 23:32