〚260729〛子集个数📋

题目

$\{1,2,3,4,5\}$有多少个子集？

题解

答案：$2^5=32$ 个

子集个数计算方法 👉※ 规则化公式化

若集合A有n个元素，则A的子集有：$2^n$ 个，其中包括空集和自身； 若集合A有无穷多个元素，则A的子集也有无穷多个。

子集的组成结构 👉※ 结构化

1. $\varnothing$ 的子集有 $2^0=1$ 个，即：空集$\varnothing$，也是全集
2. $\{1\}$ 的子集有 $2^1=1$ 个，即：空集$\varnothing$、全集$\{1\}$
3. $\{1,2\}$ 的子集有 $2^2=4$ 个，即：$\varnothing$、$\{1\}$、$\{1\}$、$\{2\}$、$\{1,2\}$ 包括2个特别的子集：空集$\varnothing$、全集$\{1,2\}$ 以及2个普通的子集：$\{1\}$、$\{2\}$
4. $\{1,2,3\}$ 的子集有 $2^3=8$ 个 包括2个特别的子集：空集$\varnothing$、全集$\{1,2\}$ 以及6个普通的子集：$\{1\}、\{2\}、\{3\}、\{1,2\}、\{1,3\}、\{2,3\}$
5. $\{1,2,3,4,5\}$的子集有 $2^5=32$ 个 如果不算全集，32-1=31个 —— 即：真子集 如果不算空集，32-1=31个 如果全都不算，32-2=30个

子集的枚举方法 👉规律性规则感 👉※ 树形图

比如 $\{1,2,3,4,5\}$有32个子集，全部枚举需要清晰的规律性

$\varnothing$ 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 5 1 2 4 1 2 4 5 1 2 5 1 3 1 3 4 1 3 4 5 1 3 5 1 4 1 4 5 1 5	2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 5 2 4 2 4 5 2 5 3 3 4 3 4 5 3 5 4 4 5 5

子集个数计算，方法的来源

思路1 -“基于过程”👉※向下思考，向上抽象 👉※差值思想

首先，从简单入手，做点感性分析

1. {1}有几个子集？——2个：$\varnothing$、{1}
2. {1,2}有几个子集？——4个：$\varnothing$、{1}、{2}、{1,2}
3. {1,2,3}有几个子集？——8个：$\varnothing$、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}
4. …

其次，尝试寻求点规律

1. {1，2}有4个子集：$\varnothing$、{1}、{2}、{1,2}
2. 那么{1，2，a}呢？ ——首先包含{1，2}的4个：$\varnothing$、{1}、{2}、{1,2} ——其次，以上4个都加一个{a}，得到新的4个：{a}、{1,a}、{2,a}、{1,2,a} ——数量翻番，4×2=8个 ————$\varnothing$、{1}、{2}、{1,2} ————{a}、{1,a}、{2,a}、{1,2,a}
3. 那么，再增加一个元素，{1，2，a，甲}呢？ 再翻一番，8×2=16个 ————$\varnothing$、{1}、{2}、{1,2}、{a}、{1,a}、{2,a}、{1,2,a} ————{甲}、{1,甲}、{2,甲}、{1,2,甲}、{a,甲}、{1,a,甲}、{2,a,甲}、{1,2,a,甲}
4. 重要收获：=当集合增加一个元素，其子集的个数增加一倍==

最后，清晰的结论

1. 当集合有1个元素，{1}，子集个数：2
2. 当集合有2个元素，{1,2}，子集翻倍：$2\times 2=2^2$
3. 当集合有3个元素，{1,2,3}，子集再翻倍：$2^2\times 2=2^3$
4. … …
5. 当集合有n个元素，{1,2,3,…,n}，子集个数：$2^n$

思路2 - “基于结果”👉组合思想应用

从{1，2，3，4，5}中寻找子集 $\left(\begin{array}{c}选1\\ 不选1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}选2\\ 不选2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}选3\\ 不选3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}选4\\ 不选4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}选5\\ 不选5\end{array}\right)$ 一共 $2^5=32$ 种选择 这个思路，思维上有一定跳跃，并不容易想到。但是，对于理解问题，简洁清晰。 想反，基于过程，相对复杂，但是思考过程较容易想到。 两者都是处理这个问题的有效方式，对于更多其他问题，都有各自的价值。

相关问题 👉※ 系统化

1. 210=2×3×5×7，210有多少个因数？
2. 54=2×3×3×3，54有多少个因数？
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相关基础能力

1. ※ 规则化公式化 子集个数是个典型问题，是一大类问题的基础。$2^n$ 是一个明确清晰的结论。
2. ※ 结构化 除了个数本身外，需要对子集的“样子”有个了解。 即，其中包括 空集 这个需要注意；其中包括 自身（全集）也需要注意，特别用来区别真子集。以及，对于空集，其子集就是空集，也是它自身，也是全集。
3. 规律性规则感、※ 树形图 所有子集的枚举，也需要一定基础数学能力。最基础的就是要有规律、有内在的规则。这里规则更多体现为：分类、字典排序，这两者都是树形图的核心思想。
4. ※向下思考，向上抽象、※差值思想 子集个数的计算方法，是一个典型的好结论，👉漂亮的结论。3大特点：简洁、应用广、不易得。那我们是怎么得到结论得呢？ 第一个思路，主要体现为 “向下思考”，即：当问题难以解决的时候，我们就放下身段，用更基础、更原始的手段思想去处理。简单说，我们可以从1个元素、2个元素去思考，去枚举，然后寻求规律，寻求内在逻辑。 接下来的重要思想，在寻求个数的过程中，不必每个集合都单独枚举一遍，借助上一个结论的子集，然后新增，这样，就很快找到了内在逻辑。这便是 ※差值思想
5. 组合思想应用 子集个数的第二个理解方法，即组合。这个方法主要是高一新生可能不熟悉，思维有多跳跃，难以想到。一旦相通，则理解起来不难。
6. 结果与过程 个数计算公式的两个推理思路，分别体现了“基于过程”的思考和“基于结果”的思考。这是两类常见的思维模式。很基础的数学素质。
7. ※ 系统化 子集个数，与 因数个数、二项展开、二进制等等问题，内在逻辑相同。 将多个问题关联在一起去理解，是即深入又高效的学习方法。

附注

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