※ 根式计算

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根式与平方差

认知

• 平方差，天然带有平方属性，平方又是根式的克星
• 故：平方差（公式）对于根式的处理，具有特别的价值

示例

〚新思路8上-16.3(2)-9〛根式估算☆☆🏅 〚市北15.5-1.2〛

不同 分析路径 带来的价值

比如

• $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6=(a+b\sqrt{30})(a-b\sqrt{30})$
• $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6=({\sqrt{6}}^2-{\sqrt{5}}^2{)}^6=1$
• $从而：(a+b\sqrt{30})(a-b\sqrt{30})=1$
• $从而：a^2-30b^2=1$

解读

• 从好结论角度，满足其二——简洁、不易得，但应用不多
• 结论的背后，思维方式更有趣一些
  • 从$(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^6(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^6$出发，有两个处理方向
  • 不同的处理结果之间，必然等价
  • 这个等价本身，或可能是一个新的认知，新的信息
  • 分析路径 > 可以起到链接的效果

问题

〚新思路8上-16.3(2)-9〛根式估算☆☆🏅

因式分解中的根式

题目

指向原始笔记的链接

符号法——结果与过程 > 基于结果的思考

• 比如， $\sqrt{-a^3{b}^4{c}^5{d}^6{e}^7{f}^2}(d<0,c>0,f<0)$，如何化简？
  • 方法1，一步一步脱根号
  • 方法2，先写表达式，再判断符号
    • 首先 $\sqrt{-a^3{b}^4{c}^5{d}^6{e}^7{f}^2}=(\pm )a{b}^2{c}^2{d}^3{e}^{3}f\sqrt{-ace}$，符号待定
    • 其次，判断：a、e异号
    • 故，以上$a{b}^2{c}^2{d}^3{e}^{3}f$中：$a{e}^3<0;d^3<0;f<0$，故前面需要一个负号
    • 故，$\sqrt{-a^3{b}^4{c}^5{d}^6{e}^7{f}^2}=-a{b}^2{c}^2{d}^3{e}^{3}f\sqrt{-ace}$
    • 注
      • 不用关注根号下的符号，即-ace不用关注
      • ——原因：只要原式有意义，根号去掉偶次项后保持有意义
• 思路来源，结果与过程 > 基于结果的思考
  • 这里的方法2
    • ——没有关注计算过程，更多关注结果中的符号
    • ——这是有趣的解决问题的方法
  • 基于“过程”进行思考，还是基于“结果”进行思考，常有不一样的效果。是值得关注的一个思维模式。
• 方法价值 * 用于计算，思路简洁清晰 * 用于检查，简单高效
• 更多示例
  • 〚新思路8上-16.1(2)-10〛根式化简

根式求值，参考 代数式-整式 > 根式求值

较复杂根式化简题目

〚新思路8上-16.2(1)-9〛根式化简💯⭐⭐