代数式-整式

是什么

关联与解读

本节为 Obsidian 动态视图（自动关联列表），网页版暂不展示。

综述

所谓计算，核心要求只有：相等的变化 如果加一个辅助要求：简化 ——但这个要求比较模糊，比如因式分解、等价变形算不算简化，需要基于不同角度

参考资料

1. 《新思路》 《新思路v3-7上-10.1-整式》 《新思路3-10》本章复习题🆗 《新思路3-11》阶段练习1🆗 《新思路3-11》本章复习题🆗
2. 《探究应用新思维》（收录较多） 《新思维7-5》整式加减🆗 《新思维8-1》整式乘除🆗
3. 《尖子生》 《尖子生7-1》代数式的值🆗
4. 《市北》 《市北6-6》整式加减🆗 《市北7-11-1》整式乘法🆗 《市北7-11-2》乘法公式🆗
5. 《举一反三》（收录较多） 《举一反三7-4》整式及其加减🆗 《举一反三8-9》整式乘法（1）🆗 《举一反三8-10》整式乘法（2）🆗
6. 《培优教程》（收录较多） 《培优教程》8年级-5.1整式乘除🆗 《培优教程》8年级-5.2乘法公式🆗

主要内容 4. 单项式、多项式、幂运算相关，基础概念、体现性质的小题目 5. 加减乘除，基础运算 6. 代数式求值，重要内容 7. 常见的公式及相关应用

（一）基础 - 整式概念

单项式、多项式的背后逻辑 单项式：主体框架，用“×”连接数字和字母； 多项式：主体框架，用“＋-”连接 主体框架，是什么意思？ ——比如 ab-cd，既有“×”又有“-” ——主体框架就是最外曾，这个“ab-cd”最外层是“A-B”结构，所以是多项式 为什么“×”和单项式关联，“＋-”和多项式关联？ ——乘除法具有更高的优先级 ——ab-ac，这个式子中ab更接近一个单独整体，所以“单”项式 数字为什么称为系数？ ——本质上，数字和字母在单项式中无区别 ——考虑到，数字是已知部分，可以实际完成运算，具有特殊性 ——比如 ax+bx=（a+b)x；a和b无法完成相加；但3x+4x=（3+4）x=7x，3和4 为什么次数，是多个字母次数的和？ ——因为$xy$和$x^2$，其复杂性相同，所以都当作2次 a的系数 ——系数为1，并非没有系数，也不是系数为0 ——在乘除法中，1是不变运算（加减法是0） ——系数-单项式-乘除法，这三个概念相关联 3是几次 常数项，是0次；可以这么理解：$3=3x^0=3b^0=3(mn{)}^0=3({)}^0$ 为什么单项式不允许除法，但多项式允许减法 在小学阶段，×÷是一组，具有相似的特性和计算规则；＋-是另一组 整式定义中，“＋-”用于多项式定义；“×”用于单项式定义 为什么“÷”被排除在外？ ——难度因为“排除”两个字中有“除”，所以要“排÷” ——当然不是 ——数学中的规定，大多是基于数学的核心要义展开 ——数学，关注：逻辑、规则、关系、方法，等等 ——从这个角度，$ab和\frac{1}{x-1}$ ，具有较大差异。所以“÷”单独作为“分式”讨论。 ——“-”和“+”这个角度上没有明显差异，所以一并用于多项式定义

1. 代数基础

   题目

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2. 代数的思想 ——代数，即：字母代替数，这是个简单直接的例子 〚市北7-11.4(2)-e5〛💯

   若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   〚市北7-11.4(2)-5〛💯

   计算 $2003^3-2002\times 2003\times 2004=？$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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3. 多项式基础 〚市北6-6.3-5〛💯

   一个关于字母a、b的四项式，除常数项为-5外，其余各项的次数都为2，系数都为1，写出这个四项式，且按字母a降幂排列 关联：代数式-整式 ——入门基础练习 年级：7年级

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4. 幂运算基础 ——$a^n$，a可以是数值、单项式、多项式 ——$n偶数：(x-y{)}^n=(y-x{)}^n；n奇数：(x-y{)}^n=-(y-x{)}^n$ ——$n奇数：(x-y+a+b-c{)}^n=-(y-x+c-a-b{)}^n$ ——$a^n\cdot b^n=(ab{)}^n$ ——$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ ——$a^m\cdot b^n=?$ —— $a^m\cdot b^n=(ab{)}^m{b}^{n-m}=a^{m+n}(\frac{b}{a}{)}^n$ —— ※ 结构化 ——大小比较：$a^m、a^n，m>n；若a>1，a^m>a^n；若a<1，a^m<a^n$ ——$(a^m{)}^n=a^{mn}$ ——
5. 幂运算优先级>乘法 ——问题，$(-a{)}^6$ 与 $-a^6$，是否相同？ ————不相同，前者永远≥0，后者永远≤0 ——原因是什么？ ————前者：$(-a{)}^6=(-a)\cdot (-a)\cdot (-a)\cdot (-a)\cdot (-a)\cdot (-a)$ ————后者：$-a^6=-a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$ ——以上展开，依据又是什么？ ————可以说是“定义” ————更底层一点的说法是：运算先级：幂＞乘法 ————即：$a{b}^2$ ——————要先算2次方，再算乘法，即：$a{b}^2=(a)\times (b^2)$ ——————而非相反，即：$a{b}^2=(a\times b{)}^2——乘法先算是错！$ ——参考 —— ——练习 〚市北7-11.3-10〛💯

   计算$(-p{)}^8\cdot (-p^2{)}^3\cdot [(-p{)}^3{]}^2$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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6. 数值代数 $a^3-1$

（二）基础 - 恒成立

1. 分类 ——恒等计算 ——条件求值
2. 合并同类项的3个处理思路 〚新思路3-10.2(1)-4〛💯

   合并同类项：$3a^2-[7b-(4a-b)-2a^2]$ 归属：代数式-整式 ——简单、基础的问题，有三个不同的处理思路 ——长期看，是计算准确、计算灵活、检查有方法的扎实基础 年级：7年级

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3. 关于“恒成立” ——常规的代数式计算，就是“恒成立”意义下的计算 〚新思路3-10.2(1)-5〛💯

   归属：代数式-整式 ——代数式计算的本质含义是什么？ 年级：7年级

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   —— “恒成立”等式，意味着：规律 ————比如，乘法分配律 ————比如，这道题 〚新思维7-5-t2(1)〛⭐👍

   如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n个正方形点阵中的规律 关联：代数式-整式 年级：7年级 中考题 江苏泰州

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   ——基于“恒成立”的题目 〚新思维7-5-e1〛💯

   已知$P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2$，当$x\ne 0$时，$3P-2Q=7$恒成立，则$y=?$ 关联：代数式-整式 年级：7年级 中考题 四川宜宾

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   题目

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   恒成立有两个处理思路

   题目

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   恒成立问题

   题目

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   题目

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   ——“恒成立”，即每一个都成立，用来取特征值解题 〚尖7-整式-1.3.4〛⭐⭐⭐🏅

   求证：如果x取任意整数值时，二次三项式 $a{x}^2+bx+c$ 总是整数，那么2a、a+b及c都是整数，并且反过来也正确. 关联：代数式-整式、链接思维、数论问题、漂亮题目 ——非常锻炼基础逻辑能力 年级：7年级

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   ——求次数问题，基于“恒成立”思想 ——无关，是特殊的恒成立 〚市北7-11.4(2)-4〛💯

   试证明代数式$(2x+3)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16$的值与x的值无关. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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4. “整体”代数的思想 〚尖7-整式-1.2.1〛⭐💯

   题目

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   〚尖7-整式-1.3.e〛⭐👍

   设$(2x^2-x-1{)}^5=a_{10}{x}^{10}+a_9{x}^9+a_8{x}^8+\dots +a_{1}x+a_0$，求$a_9+a_7+a_5+a_3+a_1$的值 关联：代数式-整式 年级：7年级

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5. “代数式”计算，与整数计算，无本质差异 —— 同构思想 〚市北6-6.5-6〛💯

   一个多项式，当减去 $2x^2-3x+7$ 时，因把“减去”误认为“加上”，得$5x^2-2x+4$，试问这题的正确答案是多少? 关联：代数式-整式、同构思想 年级：7年级

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（三）基础 - 创建多项式

1. 根据图形规律，创建多项式 〚新思维7-5-t2(2)〛⭐👍

   如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是(用含n的代数式表示) 关联：代数式-整式 年级：7年级 中考题 山西某地

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   〚新思维7-5-t2(1)〛⭐👍

   如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n个正方形点阵中的规律 关联：代数式-整式 年级：7年级 中考题 江苏泰州

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   〚新思维7-5-e5〛⭐⭐

   如图，用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要多少枚棋子，摆第n个图案需要多少枚棋子 关联：代数式-整式、规律问题 年级：7年级 中考题 山东青岛

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2. 根据数值规律，创建多项式 〚新思维7-5-t15〛⭐⭐💯

   大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如$2^3=3+5，3^3=7+9+11，4^3=13+15+17+19，\dots ，$若m³分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是( ) A.43 B.44 C.45 D.46 关联：代数式-整式、规律问题 ——比想象的不好算，是否有更好方法？ 年级：7年级 中考题 江苏扬州

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   〚新思维8-1-t2〛💯

   按一定规律排列的一列数：$2^1,2^2,2^3,2^5,2^8,2^{13},\dots ,$，若x,y,z表示这列数中的连续三个数，则x,y,z满足的关系式是什么？ 关联：代数式-整式 年级：7年级 中考题 安徽某地

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3. 根据逻辑，创建多项式 〚新思维7-5-t10〛⭐⭐🏅

   如图所示，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形。如果图中标注的①和②正方形边长分别是x、y，那么你能计算出其他8个正方形的边长吗？若长方形的长比宽多36厘米，求x、y分别是多长？ 关联：代数式-整式、结构化数值分析🔺、约束与方程、草图原则、确定性分析、隐含约束 收录：漂亮题目 年级：7年级

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   〚新思维8-1-t6〛

   题目

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4. 用于数值逻辑表达的多项式 〚新思维7-5-t18〛⭐👍

   若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”，则不是“巧数”的两位数的个数是( ). A.82 B.84 C.86 D.88 关联：代数式-整式、数学表达、数论问题 年级：7年级

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   题目

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   📝公式-完全平方

公式-完全平方 $(a+b{)}^2$

认知：关于次数、系数、项数 ——这是一个基础练习 〚250912-3〛⭐⭐💯

展开 $(a+1{)}^{10}$ 后可得到一个多项式，请问 （1）这个多项式一共有多少项？ （2）系数最大的是哪一项？其系数是多少？ （3）所有系数的和，是多少？ （4）如果换成 $(a+b+c+d{)}^{10}$，以上问题的答案是多少？ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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配平方与最值不等式

1. 配平方基础 注意双值

   题目

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   同上

   题目

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2. 复杂一点的配平方

   题目

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   题目

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   题目

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3. 非负属性

   题目

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   〚举一反三8-10-4.e〛⭐⭐🙇

   题目

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   ——同思维，拓展应用 〚举一反三8-10-2.3〛🙇

   题目

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   〚举一反三8-10-4.1〛💯

   题目

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   〚举一反三8-10-4.2〛

   已知a,b为有理数，且 $a^2+b^2+5=2(a+2b)$，求代数式 $|a-b|$ 的值. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   〚举一反三8-10-4.3〛⭐

   已知整数a,b满足不等式 $a^2+3b^2+6<2ab-8b$，求a,b的值. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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4. 求值计算

   题目

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5. 有趣的应用练习

   题目

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   题目

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   〚举一反三8-10-5.3〛❓

   如果正整数a,b,c满足$c^2=a^2+b^2$，证明：$c^2+ab$ 和 $c^2-ab$ 都可以表示为两个正整数的平方和. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——换元 ————将a→-2sm

（六）基础 - 常见公式

高次差 $a^n-b^n$

1. 一般形式 $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+...+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
2. 常见低次情况
   • 当n=2时，$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ——平方差
   • 当n=3时，$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)$ ——立方差
   • 当n=4时，$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)$ ——不常见
   • … …
   • 当n=1时，$a^1-b^1=(a-b)(a^0+b^0)$ ——竟然是错的！
3. 高次差应用 —— 等比求和 $k+k^2+k^3+...+k^n=\frac{k^{n+1}-1}{k-1}$
4. 高次和 当n为奇数 —— 注：在 $a^n-b^n$ 中，让b替换为-b，即可$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-a^{n-4}{b}^3...-a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
5. 立方差、立方和 应用练习

   题目

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   特别的
6. $mn\pm m\pm n+1=(m\pm 1)(n\pm 1)$
7. $a^4+4=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)$

I 三项完全平方 $(a+b+c{)}^2$

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

1. 平方差、完全平方，熟练性练习

   题目

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2. 更多问题，参考：代数式-整式 > 专题，三元信息，求值与证明

II 三次组合 $a^3+b^3+c^3-3abc$

如下，一个特别的因式分解 $a^3+b^3+c^3-3abc$ $=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$ $=(a+b+c)\frac{1}{2}((a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2))$

相关问题 〚举一反三8-11-3.3〛⭐⭐⭐🙇

Transclude of 〚举一反三8-11-3.3〛⭐⭐⭐🙇#^efe2f5

III 其他组合

$a^4+b^4+c^4-a^2{b}^2-b^2{c}^2-c^2{a}^2=\frac{1}{2}((a^2-b^2{)}^2+(a^2-c^2{)}^2+(b^2-c^2{)}^2)$ $a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2-2b^2{c}^2-2c^2{a}^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$ —— 参考 〚尖7·整式-4.2.4〛✶✶✶💯 $a^3+b^3+c^3-3abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

3. 完全立方及杨辉三角 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ ——换元练习 ——杨辉三角 ①项数=n+1；②齐次；③系数与组合数；④对称性；⑤系数最大值；⑥系数关系、组合数定理$C_m^n=C_{m-1}^n+C_{m-1}^{n-1}$、自然解读；⑦系数和；⑧首项、二项系数
5. 立方和、立方差 ——基础计算 〚市北7-11.7-e2〛👍

   计算： (1) 计算：$(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)-(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)$ (2) 计算：$(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b)(\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{6}ab+\frac{1}{9}{b}^2)(\frac{1}{4}{a}^2-\frac{1}{6}ab+\frac{1}{9}{b}^2)$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——有趣的练习 〚新思路3-11复习-14〛👍

   使$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3+y^3$成立的条件是( ) A.x=y B.x=0 C.y=0 D.x+y=0 关联：代数式-整式 年级：7年级

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7. 公式中的换元思想 ——完全平方公式 ————$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ ————将b替换为-b ————$(a+(-b){)}^2=a^2+2a(-b)+(-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

（五）认知：乘法的方方面面

1. 多项式相乘的顺序与步骤 ——问题1：先拆哪个括号？ ——问题2：要不要跳步骤？

2. “多项乘法”与“排列组合”- 的同构 〚举一反三8-9-5.e〛⭐⭐🏅

   题目

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   〚举一反三8-9-5.2〛⭐⭐💯

   对给定的一个正整数n,设p(n)表示n的各位上非零数字的乘积 ——注：如果n是一位数，那么p(n)等于n 若S=p(1)+p(2)+p(3)+…+p(999) 则S的最大质因子是多少? 关联：代数式-整式、同构思想 年级：7年级

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   〚举一反三8-9-5.3〛⭐⭐🙇

   从九个数$-2，-\sqrt{3}，-\sqrt{2}，-1，0，1，\sqrt{2}，\sqrt{3}，2$中，作出任意两个数的积，任意三个数的积，任意四个数的积……任意八个数的积，这九 个数的积.求所有这些积的和. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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3. 直接展开 ——对称性 〚市北7-11.6-3〛👍

   计算 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=?$ 计算 $(x-1)(x+1)(x-2)(x-4)=?$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——展开分析 〚新思维8-1-t8〛💯

   请你计算：$(1-x)(1+x)，(1-x)(1+x+x^2)，\dots ，$，然后猜想$(1-x)(1+x+x^2+\dots +x^n)$ 的结果是( ) A.$1-x^{n+1}$ B.$1+x^{n+1}$ C.$1-x^n$ D.$1+x^n$ 关联：代数式-整式 年级：7年级 中考题 山东临沂

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4. 相乘后的系数 〚新思维8-1-t9〛⭐⭐💯

   题目

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   〚250730〛多项式系数💯

   请直接写出 $(x^4-2x^3+3x^2+x-2)(x^3+3x^2-2x+5)$展开后 $x^3$的系数是多少？ 归属：代数式-整式、、、 ——基本功练习，熟悉多项式相乘的计算结构 年级：7年级

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   〚举一反三8-9-3.e〛⭐💯

   题目

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   〚250730-3〛展开系数⭐💯

   直接计算 $(a+1{)}^{10}$展开后 $a^7$的系数？ 归属：代数式-整式、※ 规则化公式化、同构思想 ——基本功练习，熟悉多项式相乘的计算结构 年级：7年级

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   〚250730-4〛展开系数⭐⭐💯

   题目

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   〚250730-2〛展开系数（原）⭐⭐🏅

   直接计算 $(x^4-2x^3+3x^2+x-2)(x^3+3x^2-2x+5)(2x^2-1)$展开后 $x^3$的系数？ 归属：代数式-整式、※ 规则化公式化、同构思想、加法拆分 ——基本功练习，熟悉多项式相乘的计算结构 ——清晰的处理规则，有决定性影响 ——体现小学计数问题的应用 年级：7年级

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5. 系数和 参考：求值中的系数相关问题

6. 练习 〚250912-3〛⭐⭐💯

7. 杨辉三角

   题目

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（七）专题：求参数问题

1. 基础练习 〚举一反三7-4-5.1〛👍

   同时都含有字母a,b,c,且系数为1的七次单项式共有多少个? 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   〚举一反三7-4-4.e〛💯

   现有两个多项式，它们同时满足下列条件： (1)多项式中均只含有字母x; (2)每个多项式中各项系数的绝对值均是1; (3)这两个多项式的和是一个四次单项式，这两个多项式的差是一个二次单项式. 这两个多项式分别是什么? 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   〚举一反三7-4-5.3〛⭐⭐👍

   已知整式 $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_0$， 其中，n为非负整数，$a_n$为正整数，$a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_0$为非负整数， 且满足$n+a_n+a_{n-1}+\dots +a_0=5$ 则这样的整式共有多少个? 关联：代数式-整式 年级：7年级

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2. 系数判定与反推 〚举一反三8-9-3.3〛💯

   求 $(5a^3-3a^{2}b+7a{b}^2-2b^3)(3a^2+2ab-3b^2)$ 的结果中 $a^3{b}^2$ 和 $a^2{b}^3$ 的系数. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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3. 根据“性质”求参数 小结： ——翻译：将“性质”翻译成具体的数值约束 ——分类：分类讨论约束 ——求值：代数式求值 〚新思维7-5-t11〛👍

   已知多项式$2a{x}^4+5a{x}^3-13x^2-x^4+2021+2x+b{x}^3-b{x}^4-13x^3$是二次多项式，则$a^2+b^2=?$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——单项式条件，基础，需要考虑完备性 〚市北6-6.4-1〛💯

   若 $2a^{2m+1}{b}^{n+4}$ 与 $m{a}^n{b}^{2n-1}$ 的和是单项式，求m、n的值 关联：代数式-整式、完备性 年级：7年级

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   ——单项式条件，较难，分类、完备性不容易实现 〚新思路3-10复习-24〛⭐⭐⭐🏅🙇

   已知关于x的整式$3x^2-(a+2)x+3$与关于x的整式$(a+c)x^2+x^{|a|+1}-7bx-c$的和是一个单项式，试求a,b,c的值 关联：代数式-整式、分类思想 年级：7年级

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   〚举一反三8-9-3.2〛💯

   若 $(a{x}^2+bx+2)(2x^2-x+1)$ 的结果中不含 $x^3$ 项和 $x$ 项，求a与b的值. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   题目

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   〚新思路3-10复习-19〛⭐💯

   若关于x的整式$3x^{n+1}-x^3+2x^{m-1}$是六次二项式，求2n²-3m+1的值 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   〚新思路3-10.2(2)-10〛⭐💯

   题目

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   〚举一反三7-4-5.e〛⭐⭐💯

   已知a,b为正数，且满足多项式 $a{x}^{3a}-x^3-x^{2b}-x^2+2x-2004$ 是三次多项式， 求：$|1-a|+|1+a|+|b-2|$的值. 关联：代数式-整式、完备性 年级：7年级

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4. 根据给定条件 ——主要工作：基于已知分析，找到方程 ——考验的能力：是否能灵活的整理信息 ————灵活使用信息代入思想 ————扎实的多项式处理经验、能力

   题目

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   题目

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   〚新思维7-5-t12〛⭐👍

   若代数式$a{x}^5+b{x}^3+cx-3$，当x=-2时的值是7，则当x=2时，该式子的值是多少？ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   题目

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（八）求值：退化信息代入 求值4-退化信息

（八）求值：构建桥梁代入

桥梁=$a/b=b/a=-1$ 〚新思维7-5-e2〛👍

已知a+b=0，a≠b，化简：$\frac{b}{a}(a+2)+\frac{a}{b}(b+2)$的结果是： A.2a B.2b C.+4 D.-4 关联：代数式-整式 年级：7年级

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桥梁=$x^2+x+10$ 〚新思路3-11.1(4)-10〛

题目

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〚新思路3-10复习-21〛⭐💯

已知a-b=3，b-c=2，求代数式$(a-c{)}^2+3a+1-3c$的值. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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〚新思维7-5-t13(2)〛⭐💯

已知，$a-b=2004，b-c=-2005，c-d=2007$，则，$\frac{(a-c)(b-d)}{a-d}=?$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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〚新思路3-10.2(1)-10〛💯

（1）$已知a-2b=1,2b-c=-2,d-c=3；求(a-c{)}^2+(a-d{)}^2的值$ （2）$已知x^{2}y+2x=2,2x{y}^2+y=3；求2x^{2}y-x{y}^2+4x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$ 归属：代数式-整式 ——代入，不一定是a、b、c、d、x、y的直接代入，还可以是$a-c、x^2y+2x$ 等 ——针对“已知”的推理得到新结论，是常见步骤之一 ——针对“未知”的整理得到等价形式，是常见步骤之二 年级：7年级

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题目

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（八）求值：信息代入 思想🔺

I 关于 信息代入 的理解

1. 参考 信息代入 > 基础认知

   (1) 信息代入，是数学问题处理中最核心的手段 (2) 数学中，最常见关系是数量关系，最常见的数量关系是“=”关系 (3) 相等“=”关系的使用，最基础的便是 等量代换，即：信息代入

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2. 代数式求值中，常见的信息代入情形

   • 数值信息——最常见、最易理解 ——比如，x=3，y=4 ——信息形式：变量=数值 ——代入后，变量替换成数值 ——带入后，只有数值，得以合并同类项，得以计算结果
   • 组合信息——常见、易理解 ——比如，主动组合，已知x=0.5，y=2，组合出 xy=1 ——比如，给定组合，已知a-b=3，b-c=2，求$(a-c{)}^2+3a+1-3c$ ——信息形式：代数式=数值 ——特点：整体代入
   • 逻辑信息——常见，需要体会 ——比如，多变量情况，已知m+n=mn，求(m-1)(n-1)=？ ——比如，单变量情况，已知$x^2+x=1$，求$x^4+2x^3-x^2-2x+2005=?$ ————注：代入逻辑关系信息只是是方案之一，常常简单，但有时不充分 ————参考后续解释 ——信息形式：变量=变量自己 ——信息代入后，产生相消（加减相消、乘除相消），从而简化中求解
   • 参数信息 ——比如，a+b+c=1，2a+3b-c=9，求$a^2-16c^2-10b-18c+10$

3. 逻辑信息代入的“不充分”问题

   • 比如，已知$x^2+x=1$，求$x^4+2x^3-x^2-2x+2005=?$ ——可以代入 $x^2=1-x$
   • 略作变化，已知$x^2+x=1$，求$x^4+2x^3-x^2-3x+2005=?$ ——代入 $x^2=1-x$，就无法找到最后答案
   • 可见：逻辑代入，也是一种 ※ 数值问题-隐含的必要特征 ——需求被求得代数式具有某些特征 ——即：具有能“相消”的特征 ——否则，出现无法找到答案的情况
   • 如何理解这个问题？ ——逻辑代入，即$x^2=1-x$，并没有发挥信息的全部能力 ——即：使用的不充分
   • 如何应对？——求解，才是是充分的使用 ——比如，已知$x^5+x^4+x=-1$，求 $x^{1998}+x^{1999}+\dots +x^{2004}$ ——求出，x=-1

II 求值问题中的关键思维

1. 链接思维 ——在已知、未知之间找到链接路径，找到尽可能简洁的路径，尽可能规则清晰的找到链接路径——是这类题最关键的基础能力 ——这类题，也是对链接能力的非常好的锻炼
2. 约束表达 ——已知信息，灵活的做变化，以更好用的方式表达 ——是这类题的关键计数 ——未知信息，灵活变化，体现为倒推，本质也是一种约束转化
3. 其他 方程思想

III 典型问题

1. 基础代入，体会灵活性 ——代入求值未必先合并，随时代入 是更好的处理思想 〚举一反三7-4-2.2〛💯

   已知：x=3, y=-\frac{1}{3}$$ 求值：3x^2y-[2xy^2-2(xy-\frac{3}{2}x^2y)+xy]+3xy^2$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   〚新思路3-10.2(1)-e2〛💯 〚新思路3-10.2(1)-6-7〛
   ——多项式一定需要计算吗？ 〚举一反三7-4-2.1〛改⭐💯

   有四个多项式，第一个多项式是 $x^2-2xy+2y^2$ ， 第二个多项式是第一个多项式的2倍少$(x+2)$， 第三个多项式是前两个多项式的和， 第四个多项式是前三个多项式的和， 求第四个多项式当x=2时的值 关联：代数式-整式 ——有两个不同的思路 年级：7年级

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   〚新思维8-1-t1(1)〛

   题目

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2. 更多关注“已知、未知”的分析 较复杂“已知”，类似于解方程

   题目

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   较复杂“未知“， 〚新思路3-11复习-11〛👍

   若a=1999，b=1，则$a^2+2b^2+3ab$的值为 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   〚新思路8上-16.1(2)-12〛根式求值

   • 

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3. 退化信息，逻辑代入

   所谓“退化信息”，指：

   • 信息的个数，少于未知数的个数
   • 此时，无法按传统思维，求出每个未知数
   • 这种情况，在代数式求值问题中，是大多数情况

   ——典型问题 ——体会代入的灵活性 〚新思维7-5-t13(1)〛⭐🏅

   若 m+n-p=0，求：$m(\frac{1}{n}-\frac{1}{p})+n(\frac{1}{m}-\frac{1}{p})-p(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=？$ 关联：代数式-整式、信息代入 ——信息代入，首先：信息本身有很多变化形式 ————这一点，很简单 ————关键，是想到、理解这种变化 ——不同的信息形式=不同的代入方式=不同的解题方法 ————甚至，强行代入，都未必有什么问题 ————重要的是代入，而不是怎么代入 年级：7年级 希望杯

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   ——典型问题 ——体现“信息表达”的重要性 ——体现“直接代入”的简单又好用的价值 ——以及，灵活代入的思想 ——参考 代数式-整式 > 专题，三元信息，求值与证明 ————中的以下问题 ————〚举一反三8-11-2.e〛⭐👍 ————〚举一反三8-11-3.1〛⭐⭐🏅

   ——应用：复杂信息，心态练习 〚举一反三8-10-3.3〛⭐⭐👍

   若有理数a、b、c满足ab≠0，并且 $(a^2+b^2{)}^3=(a^3+b^3{)}^2+8a^3{b}^3$，求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值 关联：代数式-整式 ——不要被吓到 ——这里有个立方差，但并无价值 年级：7年级

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   以下几题雷同 〚举一反三8-10-5.e〛⭐⭐⭐🏅

   已知实数 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 满足 $x_1^2+25x_2^2=10，x_2{y}_1-x_1{y}_2=25，x_1{y}_1+25x_2{y}_2=9\sqrt{55}$求 $y^2+25y^2$ 的值 关联：代数式-整式、方程思想、信息代入、构造思想 ——可以直接计算，思路简单，但考验计算能力 ——可以构造求解，考验构造思想以及链接能力 ——总归，基础能力好，可以解出较难题目 年级：7年级

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   〚举一反三8-10-5.2〛⭐⭐⭐

   已知实数a,b,c，b≠0，若实数 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 满足 $x_1^2+a{x}_2^2=b，x_2{y}_1-x_1{y}_2=a，x_1{y}_1+a{x}_2{y}_2=c$，求 $y_1^2+a{y}_2^2$ 的值. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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4. 较复杂的代入

   ——已知、未知，均需要认真分析 〚举一反三8-9-4.e〛⭐⭐⭐🏅

   已知实数a,b,x,y满足$a+b=x+y=2，ax+by=5$， 求：$(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)$ 的值. 关联：代数式-整式、链接思维、方程思想、构造思想 ——考验信息使用的不错题目 ——有不同的解题思路 ——需要较扎实的基础能力 ——漂亮题目 年级：7年级

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   〚举一反三8-9-4.1〛⭐⭐🏅

   题目

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   〚举一反三8-9-4.3〛⭐⭐⭐🏅

   已知实数a,b,x,y满足$ax+by=1,a{x}^2+b{y}^2=7,a{x}^3+b{y}^3=16,a{x}^4+b{y}^4=42$，求$a{x}^5+b{y}^5$ 关联：代数式-整式、信息代入、方程思想 ——方法：创建信息，代入辅助的构建算式 年级：7年级

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   ——已知、未知，均需要整理分析 〚250620〛⭐⭐💯

   题目

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5. x取值 → 参数的约束条件 → （不同）表达式求值 ——体会系数对结果的影响 〚举一反三7-4-3.3〛👍

   某同学解一道代数题：求整式 $10x^9+9x^8+8x^7+7x^6+6x^5+5x^5+4x^3+3x^2+2x+1$ 当x=-1时的值。由于将式中某一项前的“+”错看成“-”，误得整式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号? 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——基础练习 〚新思路3-10复习-18〛

   当x=2时，$a{x}^2+bx$的值为3，求$(8a+4b{)}^2-6a-3b+3$的值. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——基础练习，形式变化 〚新思维7-5-t14〛💯

   对于非零有理数x、y，定义一种新的运算$x△y=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$,若$1△(-1)=2$，则$(-2)△2=?$ 关联：代数式-整式 年级：7年级 中考题 2018浙江金华

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   ——增加条件，较复杂练习 〚新思维7-5-t21〛⭐💯

   题目

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6. x取值，奇偶分析，求代数式的值 ——本质上，已然是靠x取值，提供关于系数的条件 ——由于“奇偶性”的使用，系数条件“清晰”的作为整体使用 ——全部是“奇次项”，因此存在必然的正负关系 ——最基础练习，x=1，x=-1，求值 〚新思维7-5-t4〛👍

   题目

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   ——基础练习，x=3，x=-3，求值 〚新思路3-10.3(2)-11〛💯

   题目

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   ——好的练习检验，条件略变化 〚举一反三7-4-3.e〛⭐💯

   设多项式 $a{x}^5+b{x}^3+cx+d=M$ ,已知当x=0时，M=-5；当x=-3时，M=7；那么当x=3时，求M的值. 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——x=7，x=-7，代数式有变化 〚尖7-整式-1.2.e〛⭐👍

   已知当x=7时，代数式 $a{x}^5+bx-8$ 的值为4，当x=-7时，求代数式$\frac{a}{2}{x}^5+\frac{b}{2}x+3$ 的值 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——提高，x=4，x=-4，求值（结构复杂） 〚尖7-整式-1.2.1〛⭐💯

   题目

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   ——提高，x=3，x=-3，求值（奇偶项混合） 〚尖7-整式-1.2.2〛⭐💯

   已知当x=3时，$a{x}^5-b{x}^3+x^2+318=2012$，当x=-3时，求$a{x}^5-b{x}^3+x^2+318$的值 关联：代数式-整式 年级：7年级

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7. x取值，相同思想，数值题目 ——表面“奇偶性问题”，但有“奇次项”也有“偶次项” ——实际是一道“数值题目”，巧合变成“约束条件问题” 〚新思路3-10复习-20〛⭐💯

   已知关于x的二次整式$a(x^3-x^2+3x)+b(2x^2+x)+x^3-5$，当x=2时，该整式的值为-17，当x=-2时，求该整式的值。 关联：代数式-整式、※ 数值问题-隐含的必要特征 —— 〚新思维7-5-e2〛重复 年级：7年级

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   ——纯“数值巧合”问题 〚尖7-整式-1.2.3〛⭐💯

   已知代数式 $x(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)$，当x=5时，代数式的值为a；当x=7时，代数式的值为b；求a+b的值. 关联：代数式-整式、※ 数值问题-隐含的必要特征 年级：7年级

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   ——重复 〚尖7-整式-1.2.4〛⭐💯

   已知代数式 $x(x-1)(x-2)(x-3)\dots (x-19)(x-20)$，当x=10.5时，代数式的值为a；当x=9.5时，代数式的值为b，求a+b的值 关联：代数式-整式 年级：7年级

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8. x取值-系数和

   题目

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   题目

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   题目

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   题目

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   更多问题 〚尖7-整式-1.3.3〛⭐

   求多项式$x^{1984}-x+(-x^3-2x^2+2{)}^{1984}$的偶次项系数之和与奇次项系数之和. 关联：代数式-整式、奇偶性分析 ——常数项，算偶次项 年级：7年级

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   〚尖7-整式-1.3.e〛⭐👍

   设$(2x^2-x-1{)}^5=a_{10}{x}^{10}+a_9{x}^9+a_8{x}^8+\dots +a_{1}x+a_0$，求$a_9+a_7+a_5+a_3+a_1$的值 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   〚新思路3-11阶段1-15〛⭐⭐💯

   若$(x^2-3x+1{)}^3$展开后的结果为$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+a_6{x}^6$则$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=?，a_1+a_3+a_5=？$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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一元信息or非退化代入 求值1-一元信息

专题，二元求值 参考 求值2-二元齐次

简介

在$a+b、ab、a^2+b^2、a^3-b^3、(a+b{)}^2、(a-b{)}^3...$之间相互转化 典型问题，应用广泛

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专题，三元求值与证明 求值3-三元问题

专题：其他

1. 非负隐含信息

   题目

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2. 复杂信息、需分类讨论 〚新思路3-10复习-23〛⭐💯

   已知$A=x^2-2xy+y^2，B=2x^2-6xy+3y^2$，求代数式$3A-[(2A-B)-4(A-B)]$的值，其中$|x|=5，y^2=9$ 关联：代数式-整式、信息代入 ——原题含有x+y=-2，这让题目变成可以求x、y的普通题目 ——这道题的主要价值是体现：“何时代入何种信息” ——关注求解过程 年级：7年级

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   〚新思路3-10复习-22〛

   已知$A=-3x+2y^2，B=x^2-2x-2y^2$若$|x+1|=2，|y-1|=3$，求A-B的值 关联：代数式-整式 年级：7年级

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3. 应用练习 ——把代数式计算、分解，当作基础能力，进一步分析问题 〚新思路3-11复习-19〛⭐💯

   解方程：$(x-2)(x^2-6x-9)=x(x-5)(x-3)$ 关联：代数式-整式 年级：7年级

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   ——习惯于做“代数式整理”，然后分析问题 〚250912〛⭐⭐🙇

   Divide the ten numbers l,2,3..,9,10 into 5 groups randomly, each group has 2 numbers.If the two numbers of a group are a and b, then calculate the value of algebraic expression $\frac{1}{2}(|a+b|+|a-b|)$. This value is called the value of this group. Then we can get 5 values. What is the maximum sum of these five values? What is the minimum sum? What is the minmum and maximum sum if the expression is $\frac{1}{2}(|a+b|-|a-b|)$ 关联：代数式-整式、分析-局部与整体、对称思想、※返璞归真 年级：7年级

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   ——可以利用公式、或者拓展不等式知识，或者参数分析 〚举一反三8-11-3.3〛⭐⭐⭐🙇

   Transclude of 〚举一反三8-11-3.3〛⭐⭐⭐🙇#^efe2f5

   4. 最值问题 〚举一反三8-11-2.2〛⭐💯

      已知 $x-y=a,z-y=10$, 求代数式 $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$ 的最小值. 关联：代数式-整式、最值·代数最值 年级：7年级

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