※ 幂函数定义和性质

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知识

幂函数基础

定义

1. 唯一形式 $x^a$，即 $幂函数⟺\{\begin{array}{l}单项式（不能有其他常数项或非常数项）\\ 系数=1\\ 指数=常数（正、负、零）（与x无关，表达式不含自变量x）\end{array}$
2. 以下统统不是幂函数 $2x^a$，不是，系数只能是1 $(x+2{)}^a$，不是，不能做左右平移 $x^a+3$，不是，不能做上下平移
3. 为什么幂函数仅仅定义成 $x^a$ ——因为，数学仅仅关注最核心最基础的逻辑 ——其延申变化，是数学应用，不用概念定义解决
4. 图像一览 注①：以下关于“定义域、单调性、对称性（奇偶性）、凸凹性”等信息，参考此图可以更方便理解。为简洁起见，不在没有小节都附图。 注②：后面有分开图片，初学阶段，需研读每张图片，打下扎实基础。

定义域

1. $指数\le 0\Rightarrow x\ne 0$
2. $指数（最简化后）分母偶数=0\Rightarrow x\ge 0$
3. $指数=无理数\Rightarrow x>0$ 原因： ——x > 0，可用有理数指数逼近 α，从而定义 x^α，结果是确定的正实数。 ——x = 0，α>0 时，0^α = 0 可以定义；但 α < 0 时，0^α 无意义。 ——x < 0：“负数”的“分数”次方，不稳定；无法通过“逼近”定义。

单调性

1. x>0 时 a>0，增；a<0，减 ——只和“指数±”有关，与其他因素无关
2. x<0 时 指数：奇数(1,3,5,-1,-3,-5) or 分子奇数(1/m,3/m,-5/m)，则单调性与“x>0”相同 指数：偶数(2,4,-2,-4) or 分子偶数(2/m,8/m,-6/m)，则单调性与“x>0”相反
3. 解读 单调性，首先和“指数的±”有关 单调性，其次受“x的正负（定义域）”影响

对称性、奇偶性 - 取决于指数的奇偶性

1. 偶函数、轴对称 分子偶数，比如：$\pm 24、\pm \frac{16}{5}、\pm 4、\pm 2、\pm \frac{2}{3}...$
2. 奇函数、中心对称 分子奇数，比如：$\pm 25、\pm \frac{17}{5}、\pm 3、\pm 1、\pm \frac{1}{3}...$
3. 仅第一象限 分母偶数，比如：$\pm \frac{17}{1}0、\pm \frac{5}{4}、\pm \frac{1}{2}、\pm \frac{1}{3}...$

凸凹性

1. 定义 $x^2$，称之为“凹”；$x^{\frac{4}{7}}$，称之为“凸” ——在不同资料之间，国内国外之间，凸凹定义会有差异
2. $x>0$ 时，凸凹性 指数$a>1$，凹 指数$0<a<1$，凸 指数$a<0$，凹
3. $x<0$ 时，凸凹性 偶函数，与 $x>0$ 相同；奇函数，相反
4. 无需记忆，参考图形，理解即可

典型题目

即便看着简单，也未必做对，需认真对待

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