本节为 Obsidian 动态视图（自动关联列表），网页版暂不展示。
数学、语文，不一样的学科
区别诸多，比如， 语文，讲究形式、意境、较模糊、偏情绪； 数学，讲究本质、对象、较严谨，偏逻辑； 语文，表达自然，甚至排比冗余成为一个方向； 数学，要抽象，要简洁；
这是本身差异 还有另一个角度，和学生有关，即：写文章、做数学题的区别
从现在写的文字说起
现在写的文字，其构思，由来已久 最早追溯至给格格讲题目
格格是小女 看她一直思考，迟迟没动静，大概率发脾气。 给格格讲题，丢了老师身份，只剩爹味 故易发脾气
这事，表达什么意思呢？ 其一，由来已久 由来已久，说明这文字并非临时起意 是想了又想，慢慢的才有了最后的、清晰的、完整的想法 然后，才有机会成篇 一旦动笔，便期望一气呵成 一点动笔，很担心被打断 （很可惜，还是断了尾巴。临上课，尚未全部完成）
其二，生气的原因 生气，是因为笔者深谙一个道理： 数学题，特别是有些难度时 需要动起来， 需要一步一步来
常常，走出第一步才有第二步， 常常，走着走着，柳暗花明 常常，也可能穷途末路 ——穷途便穷途，末路便末路，换个思路继续走
但，如果不走第一步 无论这一步看起来多么不起眼 如果没有这一步，那就没有以后
所以，迟迟没动静，当老师能忍住，当爹就发脾气了
两种模式
写作文，想好再写； 数学题，边做边想
| 毕其功于一役 | 摸石头过河 | |
|---|---|---|
| 场景 | 写作文 | 数学题 |
| 强调 | 构思，想好再开始 | 动笔解题，动起来 |
| 表现 | 主体，一气呵成 细节，反复打磨 | 一个思路下，走走停停 不同思路间，反复横跳 走一步看一步，吃了上顿没下顿的样子 |
| 底层 逻辑 | 写作， 作：构建一个东西 是在创造 形成一个整体 | 解题 解：解析，分析，析构 是在拆解 掰开了揉碎了，挖出内在逻辑 |
| 理解 | 思考，优先于，行动 | 行动，优先于，思考 |
 |
摸石头过河，在乎小石头
有个学生，小帅 时不时来一句“我这个想法可能没啥用”
昨天，一个学生，MRX 刚几何入门，锻炼“正推发散”关键时刻，也有类似表达
逢这情况，必然停下题目，唠叨半天
这个表达，一方面，自我保护 申请免死金牌：老师你不要嫌我想的浅
这个表达，另一方面，认知不够 没有意识到：细微的进展，对解题可以是至关重要的存在
过河，两块大石头间隔较远 中间不起眼的石块，便可做个垫步，便是个救命的石块 没有，就没有了下一步
起步，更是常常小处入手，进入佳境
数学题——（有核心逻辑难点的除外，这类并不是校内的重点，有核心难点，都不是考试能考的）——中小学阶段的数学题，绝大多数是简单的逻辑组成。其难度，多体现在对连贯逻辑的组织，而逻辑的每一步都不难。这在以难出名的初中平面几何，体现尤为明显。思维正确，可以是秒杀，几个小碎布就走过了河；思维不顺畅，可以处处碰壁，卡到放弃。 也即，踩着小石头前进，可能是解题路上的常态。
摸石头过河，正确看待“冥思苦想”
冥思苦想，似乎是数学可以有的样子 也对，也不对
这两天，有家长说：小孩子老是不爱打草稿 我也碰到很多 不打草稿，还能干嘛，就在那里冥思苦想
冥思苦想，更多和“毕其功于一役”关联，是写作模式；
动笔解题，更多和“摸石头过河”相关联，是解题模式。
但，不忙着否定和纠正，问题并非非黑即白
一方面，苦思冥想里，多少有大人的影子在 在数学入门里面，都是口口相传的模样： 比如数数， 比如10以内的加减乘除， 常常并不动过笔 学生那来自动有这个习惯
甚至， 大人多曾对能口算心算一道题目，表现出的欣喜 有意无意鼓励了他们冥思苦想
小孩子没有动笔的习惯里，首先有我们大人的影子在
另一方面，冥思苦想，本身是个优秀的品质 思考，是数学进步的最大依赖 也是解决关键、困难问题的重要依赖 也是能力成长的重要组成部分
只是考虑到场景、考虑到当下目标，才有了侧重
冥思苦想，一般不是解题的起点 走第一步，不难，但很重要 我们止步不前，常是把第一步看太重了 ——非要有个重大突破不可 实则不然 一个简洁的抽象的图形表达 一个条件的转化 一个细枝末节的整理 一个小的组合推理结论 … 都是解题的起点 而，冥思苦想，一般不是解题的起点
冥思苦想，解题中，偶有出现 在死磕一道难题 在死磕的难题已经化归到一个具体的难点 是冥思苦想的用武之地
但永远留一扇窗给自己 留一个再变化的可能 此时的冥思苦想，并不意味着一条路走到黑
冥思苦想，更需要是在解题后 解题完成后，可以有冥思苦想 因为此时，我们已经有了一个完整的方案 我们可以整体在复盘 复盘自己的思维 复盘每个细节 说明什么，反应了什么，有什么可改进的
可 最需要的时候，常常就不见了 至少学生大多做不好 这便成为老师的一个重要职责
极个别学生能做好，也就成了顶尖的学生 因此，笔者和学生讨论问题 顺势也就鼓励学生自己学会这类思考 终究，自己想到的，比听来的更好 毕竟，小学之后还有初中，初中之后还有高中 大学之后，也还有那么长的余生，终归要自食其力
冥思苦想 还一个用处是“刻意练习” 当我们刻意锻炼提高分析能力、组织能力、抽象思考能力 此时，也是冥思苦想的用武之地
刻意练习，首先体现为一个优秀的学习策略 数学，是人为创造的学科 数学能力，也就是后天习得的能力。我们的基因里，大多是为了苟延残喘；给自由而无用留下可能性，最多是一些奖赏鼓励，但不会有具体的数学。 后天习得，需要刻意练习。 思考能力，是一种需要刻意练习的能力； 思考本身，便是这种能力的来源
刻意练习，其次体现为蹩脚的方法。👉※ 蹩脚的方法 蹩脚的方法，一直是笔者关注的角度。 蹩脚的方法，看起来不太聪明的样子 可，明明有车，我们为什么还是要跑步呢？ 或许，有时我们并不是要那个终点，要那个目的地，要那个答案 我们要的是这个过程 冥思苦想，于解题，不是最优至少不是主要的行为模式； 冥思苦想，于思考本身，善莫大焉；当我们解题的目的是为了锻炼这个能力时，这份难为自己，便是一种强化训练。
无是无非 看的清楚，方为睿智
摸石头过河，更需要“动笔解题”**
与冥思苦想相对应 当我们面对一般数学题 当我们需要考虑效率在合适时间内完成， 或者锻炼自己的解题实践能力时 我们需要：动笔解题
动笔解题，是一步一步解题的主要呈现形式 在几个方面给解题莫大帮助
其一，思考的起点 常是因为我们能走的第一步，没有走 我们动笔，便开始的第一步 能做的事情，先做起来
其二，数学表达的要求 一道数学题，应用题，是显而易见的语文思维的表述 即便是看起来标准的数学题，其语义也可能是语文化的 这需要用简洁的数学语言翻译过来 这个翻译，常是要写下来才算数，才有作用 比如简单的符号、有条理的结构 常见的线段图、二维表格（解决思维题）、三角形符号的倍数分析、容斥问题的文氏图、盈亏问题的数量比较分析，以及最常见的几何图… 等等 这个分析，因为简洁、精准、形象，对逻辑分析对解题帮助很大 这个能力，并非呼之即来，需要日常锻炼中逐步提高 数学里很多能力，首先体现为意识，其次是习惯 单能力本身，似乎每个人都动都知道，用好难
其三，辅助记忆 一个简单的例子 一位数的四则运算，心算能搞定 两位数的四则运算，心算有点难，但还有机会 三位数，一般就要借助纸笔
这里，纸笔的作用是什么？ 其实很简单，就是辅助记忆 我们的大脑，即神奇又孱弱，神奇的是能想出很多奇奇怪怪的东西，孱弱的是，连一台286的十分之一的计算能力也比不过（年轻人可能看不懂286是什么了） 我们可以计算九九乘法，但计算的时候，还要记得刚才一步计算的结果就有点吃力，如果需要计算时同时记忆2个以上的临时结果，大脑就会抗议了 此时，我们的纸和笔，就承担了辅助记忆的作用 这是列竖式计算的核心逻辑
在其它问题上也是 我们要把所有信息、信息的转化、过渡阶段的推理，都用纸和笔辅助记录下来 让大脑只专注于思考 这是我们需要采用的策略
其四，更多信息的组合 纸上容易呈现相关的所有的信息 我们的推理，就可以快速的，以及因为形象而高效的思考各种条件组合的可能性以及选取更好的方向去推进求解。 如果仅靠大脑，则明显要吃力，更吃力很多
小结 数学解题，至少人生前12年碰到的多数数学题 多是一步一步做出来 我们要重视这个过程 关注这个过程的起承转合
这个过程中， 纸和笔是最主要的实现载体 辅助了这个过程更好的实现
摸石头过河≠无章法
摸石头过河，多少给人乱来的感觉 那并不对 解题，有章法
章法，首先表现在整体解题思想 数学能力两个核心：以知识、经验为代表的底层逻辑+思维思想 解题的思想，体现在正确的读题、表达、正推、倒推、猜想证明。 这整体指导思想，是章法，非具体的解题过程。过程中夹杂各分析方法、基础思维的应用，是灵活的，是一步一步过河才有的。
章法，其次体现为一大类题的解题策略 比如，统一做约束的表达，然后做方程分析（尝试不定方程） 比如，对未知不断做降次简化 比如，先做枚举分析，再归纳，再证明 等等，都是具体策略，对应一大类问题
这与摸石头过河不冲突 摸石头，还是解题主体 章法，是重要的能力，甚至是核心能力 但其发挥作用，是基于现有能力的自然反应 ——并不占用什么时间 具体解题实践，还是由摸石头组成
写在最后
写了很多 也不知道说明白了个啥 毕竟不是大家，说不好 说不好，不妨碍读者聪慧 但凡能传递一点点对数学解题的理解，那就也好