题目

已知 $x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ 可分解成两个一次因式的乘积，求m值 ——关联： 📝因式分解④双十字、📝代数式问题精选、※ 流水式解题、一元二次方程、代数思想 ——链接：〚一课一练.7A.7-28〛反求参数，深藏的坑⭐🏅

如果对双十字因式分解有所了解，这道题不算难；若无特意的学习，则有可能找不到解题入口。 ——不明白“可分解”这三个字如何解读 ——背后是不明白双十字的参数不是“自由的”，有内在约束。

但，即便了解双十字分解，这道题也容易摔跟头笔者，就是这样信心满满求解——然后… …摔了个大跟头

可先试试看，看看自己的答案是什么？

接下来，是笔者“犯错… …发现出错… …改正、狡辩、反思”的全过程几无修饰，笑纳

解答

【一】解法1，基于因式分解过程求解

$x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ $= (x - 2 y) (x + y) + m x + 7 y - 3$ $= (x - 2 y + 1) (x + y - 3) + 2 x + m x$
以上，“能分解”三个字，翻译成数学含义，即： $2 x + m x \equiv 0$ 即：m=-2

【插】写在解法2之前

这段话，是后来插入的
前面求出m=-2，可以代入检验，没问题
求解过程，似乎也没问题
可惜，错了！
题目还有另一个答案 ——不看下去，你能发现我的错误吗？

【二】解法2，基于二次方程的解法

$x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ $= x^{2} + (m - y) x - 2 y^{2} + 7 y - 3$
判别式=完全平方 $Δ = (m - y)^{2} - 4 (- 2 y^{2} + 7 y - 3)$ $= 9 y^{2} + (- 28 - 2 m) y + m^{2} + 12$
何时完全平方？ $m^{2} + 12 = ((- 28 - 2 m) \div 2 \div 3)^{2}$ 解 $9 m^{2} + 108 = 196 + 28 m + m^{2}$ $8 m^{2} - 28 m - 88 = 0$ $2 m^{2} - 7 m - 22 = 0$ $(2 m - 11) (m + 2) = 0$ $m = - 2 or m = 5.5$
咦？m=5.5怎么回事，检查一下！ $x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ $= x^{2} - x y - 2 y^{2} + 5.5 x + 7 y - 3$ 放弃
换个方法检查 $Δ = 9 y^{2} + (- 28 - 2 m) y + m^{2} + 12$ $= 9 y^{2} - 39 y + 5. 5^{2} + 12$ $= 9 y^{2} - 39 y + \frac{121 + 48}{4}$ $= 9 y^{2} - 39 y + (\frac{13}{2})^{2}$ 正常？！
继续代入 $x = \frac{- ( m - y ) \pm Δ}{2} = \frac{- ( m - y ) \pm ( 3 y - 6.5 )}{2}$ $x_{1} = (4 y - 12) \div 2 = 2 y - 6$ $x_{1} = (- 2 y + 1) \div 2 = - y + 0.5$ 哪里出错了？——继续代入 $❀ = (x - 2 y + 6) (x + y - 0.5)$ $❀ = x^{2} - x y - 2 y^{2} + 5.5 x + 7 y - 3$ 完全正确！没有任何错误
总而言之，m有两个答案 $m_{1} = - 2$ $m_{2} = 5.5$

【三】蹩脚的方法，远比想象的有价值

“解法2”，是当作蹩脚的方法看待的蹩脚的方法，能强制锻炼分析能力——因为蹩脚，还要走下去蹩脚的方法，能加深对问题的理解——毕竟，多了一个角度
从未想到，蹩脚的方法，还可以发现自己的错误！ ——原来，m的解，并不止一个
“解法2”，未作修饰，一路写下来虽然“解法1”出了错，但“解法2”发现错的过程，也稍算丝滑聊作安慰 ——意思是：虽然摔了个狗啃屎，但爬起来爬的帅！！

【四】解法1的漏洞，在哪里？

$x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3 = (x - 2 y + 1) (x + y - 3) + 2 x + m x$ 这个分解并不唯一，还有另一种形式 $x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3 = (x - 2 y + 6) (x + y - 0.5) - 5.5 x + m x$ 那又如何找到所有分解形式——需要知道分解不唯一的进一步原因
本质是十字相乘分解的不唯一 $- 2 y^{2} + 7 y - 3 = (- 2 y + 6) (y - 0.5)$ $- 2 y^{2} + 7 y - 3 = (- 2 y + 1) (y - 3)$
这两个分解，本质上一致（但对双十字带来直接影响） $(- 2 y + 1) (y - 3)$ $= - \frac{1}{2} (- 2 y + 1) \times (- 2) (y - 3)$ $= (y - 3) (- 2 y + 1)$ $= (- 2 y + 1) (y - 3)$
进一步，十字相乘有以下转化 $(a x + b) (m x + n) = (a x + \frac{an}{m}) (m x + \frac{bm}{a})$ 尝试做个例子 a=2,n=3,m=6；b=7 $(2 x + 7) (6 x + 3) = (2 x + 1) (6 x + 21)$ 其本质，是系数公因数的转移仅仅，恰巧满足了：x的系数互换

【五】终于有机会，说说“方法2”本身的道理

这个方法不是太容易理解，且需要二次方程的知识
这个方法，底层逻辑相当于“根因子”法即，若 $x_{1} 、 x_{2}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c$ 的根那么， $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
在 $x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ 中，把y看作参数即可再进一步，如果能分解，说明 $x_{1}, x_{2}$ 都是y的一次式故，Δ是完全平方——才能让根是一次式
小细节 $Δ = (3 y - \frac{13}{2})^{2}$ 中 $3 y - \frac{13}{2}$ 的符号，不影响后续处理因为： $\pm (3 y - \frac{13}{2}) = \pm (3 y - \frac{13}{2})$ 无论正负，都是那两个解

【六】解法3，尝试基于参数十字求解

如下求解 $x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ $= x^{2} + (m - y) x - 2 y^{2} + 7 y - 3$ $= x^{2} + (m - y) x + (- 2 y + 1) (y - 3)$ $= (x - 2 y + 1) (x + y - 3)$ 故： $m x \equiv (1 - 3) x$ ，故m=-2
有经验了，得再次求解 $x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ $= x^{2} + (m - y) x - 2 y^{2} + 7 y - 3$ $= x^{2} + (m - y) x + (y - 0.5) (- 2 y + 6)$ $= (x + y - 0.5) (x - 2 y + 6)$ 故： $m x \equiv (6 - 0.5) x$ ，故m=-5.5

【七】基于“解法3”，把题目变一下，看看怎么解？

原题： $x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ 改为： $x^{2} - 2 x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$
$x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ $= x^{2} + (m - 2 y) x - 2 y^{2} + 7 y - 3$ $= x^{2} + (m - 2 y) x + (a y ...) (b y ...)$ 此时，需要找一对a、b，满足：ab=-2，a+b=-2 后续，略，偏离了因式分解

【八】第一个十字，是否影响答案？

针对 $x^{2} - x y - 2 y^{2} + m x + 7 y - 3$ 第1个十字： $x^{2} - x y - 2 y^{2} = (x - 2 y) (x + y) = (2 x - 4 y) (0.5 x + 0.5 y)$ 第2个十字： $- 2 y^{2} + m x + 7 y - 3 = (- 2 y + 1) (y - 3) = (- 4 y + 2) (0.2 y - 1.5)$ 组合： $(2 x - 4 y + 2) (0.5 x + 0.5 y - 1.5)$ 和： $(x - 2 y + 1) (x + y - 3)$ 一回事，不会带来新的答案
从“待定系数”角度，十字相乘相当于二次方程，会有多个解但这里，并不是以为方程个数缺少，带来无数的解不过，会不会有4个解的情况？继续分析：
自己构建一个双十字第一个十字 $(2 x - 2 y) (x + 3 y) = (2 x + 6 y) (x - y) = 2 x^{2} + 4 x y - 6 y^{2}$
第二个十字 $(- 2 y + 4) (3 y - 3) = (- 2 y + 2) (3 y - 6)$ $= (6 y - 12) (- y + 1) = (6 y - 6) (- y + 2)$ $= - 6 y^{2} + 18 y - 12$ 合成双十字 $(2 x - 2 y + 4) (x + 3 y - 3) = 2 x^{2} + 4 x y - 6 y^{2} + 18 y - 12 - 2 x$ $(2 x - 2 y + 2) (x + 3 y - 6) = 2 x^{2} + 4 x y - 6 y^{2} + 18 y - 12 - 10 x$ $(2 x + 6 y - 12) (x - y + 1) = 2 x^{2} + 4 x y - 6 y^{2} + 18 y - 12 - 10 x$ $(2 x + 6 y - 6) (x - y + 2) = 2 x^{2} + 4 x y - 6 y^{2} + 18 y - 12 - 2 x$ 以上，尽可能不出现小数（要求：系数有公因数）这里4个解有重复 ——是否因为都是公因数2呢？继续构建新的双十字验证
再次构建第一个十字 $(2 x - 6 y) (x + y) = (2 x + 2 y) (x - 3 y) = 2 x^{2} - 4 x y - 6 y^{2}$
第二个十字 $(- 6 y + 30) (y - 7) = (- 6 y + 42) (y - 5)$ $= (2 y - 10) (- 3 y + 21) = (2 y - 14) (- 3 y + 15)$ $= - 6 y^{2} + 72 y - 210$ 合成双十字（定义： $❀ = 2 x^{2} - 4 x y - 6 y^{2} + 72 y - 210$ ） $(2 x - 6 y + 30) (x + y - 7) = ❀ + 15 x$ $(2 x - 6 y + 42) (x + y - 5) = ❀ + 32 x$ $(2 x + 2 y - 10) (x - 3 y + 21) = ❀ + 11 x$ $(2 x + 2 y - 14) (x - 3 y + 15) = ❀ + 16 x$ 这里，出现了4个答案！！注：很喜欢这里“❀”的使用，让表达变的简洁清晰

【九】进一步解释，待定系数法

待定系数分解 $2 x^{2} - 4 x y - 6 y^{2} + m x + 72 y - 210 = (□ x + □ y + □) (□ x + □ y + □)$ 得到的是：多元二次方程组 ——二次、二次，复合出4次，有4个解，可以理解写到这儿，已经很累了严谨的分析，日后再补

【十】小结

双十字求参数，较为拓展，简单题目可做简单题目，比如〚尖7-整式-9.4.e〛✶✶✶🙇
双十字求参数，会有多个解
双十字求参数，能想到的方法如下方法1，直接因式分解，反求m 方法2，分两步单独分解，组合求参数（与方法1类似，但更清晰）方法3，二次方程（晦涩、蹩脚的方法）方法4，参数分解（与方法1、方法2有更多相通之处）方法5，待定系数（计算复杂、思路简洁、逻辑严谨不丢解）

练习完成下题（就是上面构造的问题，累了，偷懒）已知 $2 x^{2} - 4 x y - 6 y^{2} + m x + 72 y - 210$ 可分解成一次因式乘积，求m？

附注

👍💯🏅🙇

mathinkin

探索

〚一课一练.7A.7-28〛反求参数，深藏的坑⭐🏅

题目

解答

附注

关系图谱

目录

反向链接