〚新思维8-4-18〛✶✶🏅

题目

已知 $a^2(b+c)=b^2(a+c)=2012$, 且a≠b,求 $c^2(a+b)$ 的值 ——关联：代数式-整式、信息代入 ——“我爱数学夏令营”竞赛题 ——①退化问题：三个变量，两个约束 ——②对称性，辅助性质，锦上添花，很难雪中送炭 ——③信息代入-消元，本题最大的价值，可细致的体会约束表达、信息代入、消元等解题思想 ——链接：〚新思维8-4-18〛✶✶🏅

解答 - 思维不清晰的求解

尝试分析，基于已知进行分析

1. 已知信息相加：$4024=ab(a+b)+c(a^2+b^2)$
2. 已知信息相减：$0=ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=(a-b)(ab-ac-bc)$ ——∵a≠b ∴ab=ac+bc ——很有用的、很好的信息形式 ——信息代入其他式子，寻求更好的信息表达
3. 信息代入： ——$4024=c(a+b{)}^2+c(a^2+b^2)$ ——$2012=a^{2}b+a^{2}c=ac(a+b)+a^{2}c$ ——$2012=b^{2}a+b^{2}c=bc(a+b)+b^{2}c$ 尝试分析，基于未知分析
4. $c^2(a+b)=abc(代入：ab=ac+bc=c(a+b))$
5. 问题变为求abc 链接思维，如何在“各个”已知中，寻找abc
6. 已知中寻找abc ——$2012=ac(a+b)+a^{2}c=abc+2a^{2}c$ ——$2012=bc(a+b)+b^{2}c=abc+2b^{2}c$
7. 继续寻找 ——$4024=c(a+b{)}^2+c(a^2+b^2)=2c(a^2+b^2)$

解答 - 清晰的约束表达、信息代入思想

"a-b"之间的关系 ，必要的信息表达，更好的信息表达 ——根据2个已知消掉c，a和b之间只有一个关系，表达好即可 ——$2012a^2=a^3{b}^2+a^2{b}^{2}c$ ——$2012b^2=a^2{b}^3+a^2{b}^{2}c$ ——相减，得：$2012(a+b)=a^2{b}^2$

“c-ab”的约束表达，更好的表达

1. 已知信息相加：$4024=ab(a+b)+c(a^2+b^2)$ ——$c=\frac{4024-ab(a+b)}{a^2+b^2}$
2. 已知信息相减：$0=ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=(a-b)(ab+ac+bc)$ ——$\because a\ne b\therefore ab+ac+bc=0$ 即：$c=-\frac{ab}{a+b}$ ——很有用的、很好的信息形式 ——信息代入其他式子，寻求更好的信息表达
3. 以上2个，应该等价，取简单的 $c=-\frac{ab}{a+b}$

将以上两个关系，代入未知 $未知=c^2(a+b)=\frac{a^2{b}^2}{(a+b{)}^2}(a+b)=\frac{a^2{b}^2}{(a+b)}=2012$

替代方法：用不同的”c-ab”关系 $c=\frac{4024-ab(a+b)}{a^2+b^2}$ $未知=c^2(a+b)=(\frac{4024-ab(a+b)}{a^2+b^2}{)}^2(a+b)$ $=(\frac{4024(a+b)-ab(a+b{)}^2}{(a^2+b^2)(a+b)}{)}^2(a+b)=\frac{a^2{b}^2}{(a+b{)}^2}=2012$

替代方法：用原式的“c-ab”关系 $c=\frac{2012-a^{2}b}{a^2}$ 普通整理：$未知=(\frac{2012-a^{2}b}{a^2}{)}^2(a+b)=(\frac{2012(a+b)-a^{2}b(a+b)}{a^2}{)}^2\frac{1}{a+b}$ 代入ab关系：$=(\frac{a^2{b}^2-a^{2}b(a+b)}{a^2}{)}^2\frac{1}{a+b}=\frac{a^2{b}^2}{(a+b{)}^2}=2012$

整个问题的解题思路

1. 整体分析：退化问题——需要靠“抵消”求值
2. 信息代入：题目给出2个信息，实际解题一定要“体现”2个代入
3. 信息表达：这是问题关键，是要代入原式信息？还是改进后的信息？ ——这个问题并无固定答案。 ——如何代入，取决于我们需要代入什么？
4. “信息代入-消元”的两种形式 ——目标中含有a、b、c，所谓信息代入，可以理解为‘消元’ ——消元有2中形式 ——① 直接代入“x=…”，直接消元x ——②代入混合关系“x+y=2xy…”，整理后通过“抵消”实现消元 ——以上解题中，c的消元，是方法①；a、b的消元，是方法② ——方法①容易理解； ——方法②值得学习，在不能直接表达被消的变量时，发挥很大作用 ————比如，本题中，a和b很难相互表示

参考答案

这是更好的一种代入 ——这个代入，依然包含2步 ——其一是$ac+bc+ab=0$，其二是 $b^2(a+c)=2012$ ——这两步，都没有直接实现“消元”，是在最后统一实现了消元 ——相当于“消元方法②”的增强版

附注

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