〚新思路9-24.4(4)-11〛 ✶✶🏅

题目

如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC于点A，交BC于点D，且AB=6厘米，BD=1厘米，求CD的长为多少? ——关联： 三角相似、☆垂直嵌套、几何计算·解三角、※ 单元分析、数值维度、方程思想、📝因式分解 ——几何问题中约束信息的确定，锻炼列方程、解方程能力 ——链接： 〚新思路9-24.4(4)-11〛 ✶✶🏅

解答

常规分析，解题思路的建立

以上，构建（构造思想）出 ☆垂直嵌套这个分析单元（※ 单元分析）是解题的关键一步 这一步的来源，是2个条件正推的结果

1. 直角三角形本身，这个直角需要发挥作用
2. 等角三角形中线段差，这个线段差需要发挥作用

数值维度分析

整道题，有几个约束？ 分析单元，数值几维，有几个约束？

列方程求解

约束分析

明确的约束有

1. 边长=6
2. 线段差=1 隐含的约束
3. 垂直1——可以体现为“勾股定理”，或者综合体现为“相似比例关系”
4. 垂直2——可以体现为“勾股定理”，或者综合体现为“相似比例关系”

方程1，基于方程思想列方程

未知数选取，优先适用考虑方便表达其他数据 约束中，简单约束，优先用于“数值表达”；复杂关系，用于列方程 故，根据相似列方程 $6^2=(x+1)[(x+1)+x]$ 这个方程比较容易解

方程2，基于分析单元的通用的方程，不理想

若

1. 未知数，选用了和条件（线段差）不相关
2. 适用“勾股定理”“相似”的约束来表达数量 以上，都和方程思想相悖。 得到：$\frac{6^2}{\sqrt{6^2+x^2}}-\frac{x^2}{\sqrt{6^2+x^2}}=1$ 直接求解方程，会碰到大数的十字相乘因式分解 $x^4-73x^2+36\times 35=0$ ——此时，我们需要直到“差大积小”这个逻辑，方能顺畅完成求解

代换求解 - 分布简化

$\frac{6^2}{\sqrt{6^2+x^2}}-\frac{x^2}{\sqrt{6^2+x^2}}=1$ $\frac{2\times 6^2}{\sqrt{6^2+x^2}}-\frac{6^2+x^2}{\sqrt{6^2+x^2}}=1$ $\frac{72}{y}-y=1$ $y^2+y-72=0$

附注

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