题目

在梯形ABCD中，AD平行 BC，点E在边AB上，且3AE=AB，点 M 在边 BC 上，联结 EM、DM、EC，DM 与 EC 交于 N，AD=AE=1，如果 BC = 4 ，且 $C D^{2} = D M \cdot D N$ ，∠DMC = ∠CEM，求边 CD 的长． ——关联：压轴-上海真题、草图原则、正推发散、※ 单元分析、寻找约束 ——压轴题，只做第三问，是最难的 ——①草图：本题初始图很不好画，是个锻炼机会。 ——②正推发散：做到极致的正推发散，是解此题的关键 ——③单元分析：题目中构建可分析单元，是正推中关键的一步 ——④寻找约束：复杂问题最难度事情 ——链接：〚中考上海2024-25三〛☆☆☆🏅

创建时间： 2026-01-08 09:21

解答

【一】作图草图原则

要求：尽可能严谨——有利于猜想证明，建立合理的解题思路两个手段：其一，如果原图合理、规则，则尽可能模仿原图、且符合文字要求（有时，原图会刻意把垂直画的并不那么垂直，此时不能直接模仿原图）其二，适当推理，基于推理结论、几何题目问题，重构原图即：画图时，有所思考推理；题目中相等、平行等信息，要一边画图、一边明确、一边符合要求。切忌：只追求形似，不关注具体约束条件。画图是解题的与部分，并非独立工作。

如下，笔者做题时草图，
画图时关注以下信息： ① 线段比例，符合要求 1:3:4 ② 比例中项有线段长短要求，同时意味着三角形相似，意味着角度相等，需要符合要求 ③ 角度相等，意味着三角形相似，比例中项有线段长短要求，需符合

【二】正推发散

这几乎是大题中最关键、最难、最考验实力的一步有些是没能力做好，更多的是不知道要去特意的、认真的、用力的做这些
前几步正推 以上正推，中规中矩。留意以下细节： ——① 长度4，表示成2+2——颗粒度小，有更多信息，更多灵活度 ——② 约束的转化表达，这里“角相等、比例中项”都体现为相似。那么比例中项就弱化，转化为角相等表达出来。从而有了进一步多个角度相等、以及平行线的推理。如何做好的？更多的考虑链接思维，就容易感知到什么更好。
继续正推 这几步正推比较考验实力 ——① 首先是“韧性”，正推是持续的无止境的工作，不要认为中止，推到不能推为止。但凡能推理，就进行下去；但凡有利于加深对题目的理解，都是有益的。 ——② 扩展出等腰三角形、平行四边形，这一步来自于构建可分析单元这个思想。可分析单元，意味着高效的把很多信息建立链接。有利于建立链接的工作，也是来着不拒。
这是最后一步，结构化数值表达